Giải hộ mình câu này với các bạnGiải hộ mình câu này với các bạn

Câu 15. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( z = f(x, y) = x^2 + 2y^2 - xy + 3x - 10 \) trên tam giác có 3 đỉnh là \( O(0, 0) \), \( N(1, 0) \), và \( P(0, 2) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giá trị của hàm số tại các đỉnh của tam giác - Tại điểm \( O(0, 0) \): \[ f(0, 0) = 0^2 + 2 \cdot 0^2 - 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 10 = -10 \] - Tại điểm \( N(1, 0) \): \[ f(1, 0) = 1^2 + 2 \cdot 0^2 - 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - 10 = 1 + 0 - 0 + 3 - 10 = -6 \] - Tại điểm \( P(0, 2) \): \[ f(0, 2) = 0^2 + 2 \cdot 2^2 - 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 - 10 = 0 + 8 - 0 + 0 - 10 = -2 \] Bước 2: Kiểm tra giá trị của hàm số trên các cạnh của tam giác Trên cạnh ON (từ \( O(0, 0) \) đến \( N(1, 0) \)): - Cạnh ON là đoạn thẳng từ \( (0, 0) \) đến \( (1, 0) \). Ta có \( y = 0 \) và \( x \) thay đổi từ 0 đến 1. \[ f(x, 0) = x^2 + 2 \cdot 0^2 - x \cdot 0 + 3x - 10 = x^2 + 3x - 10 \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( g(x) = x^2 + 3x - 10 \) trên đoạn \( [0, 1] \). - Tính đạo hàm: \[ g'(x) = 2x + 3 \] - Đặt \( g'(x) = 0 \): \[ 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \] Do \( x = -\frac{3}{2} \) không thuộc đoạn \( [0, 1] \), ta chỉ cần kiểm tra giá trị của \( g(x) \) tại các biên của đoạn: \[ g(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 - 10 = -10 \] \[ g(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 10 = 1 + 3 - 10 = -6 \] Trên cạnh OP (từ \( O(0, 0) \) đến \( P(0, 2) \)): - Cạnh OP là đoạn thẳng từ \( (0, 0) \) đến \( (0, 2) \). Ta có \( x = 0 \) và \( y \) thay đổi từ 0 đến 2. \[ f(0, y) = 0^2 + 2y^2 - 0 \cdot y + 3 \cdot 0 - 10 = 2y^2 - 10 \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( h(y) = 2y^2 - 10 \) trên đoạn \( [0, 2] \). - Tính đạo hàm: \[ h'(y) = 4y \] - Đặt \( h'(y) = 0 \): \[ 4y = 0 \Rightarrow y = 0 \] Do \( y = 0 \) thuộc đoạn \( [0, 2] \), ta kiểm tra giá trị của \( h(y) \) tại các biên của đoạn: \[ h(0) = 2 \cdot 0^2 - 10 = -10 \] \[ h(2) = 2 \cdot 2^2 - 10 = 8 - 10 = -2 \] Trên cạnh NP (từ \( N(1, 0) \) đến \( P(0, 2) \)): - Cạnh NP là đoạn thẳng từ \( (1, 0) \) đến \( (0, 2) \). Ta có phương trình đường thẳng: \[ y = -2x + 2 \] Thay vào hàm số: \[ f(x, -2x + 2) = x^2 + 2(-2x + 2)^2 - x(-2x + 2) + 3x - 10 \] \[ = x^2 + 2(4x^2 - 8x + 4) + 2x^2 - 2x + 3x - 10 \] \[ = x^2 + 8x^2 - 16x + 8 + 2x^2 - 2x + 3x - 10 \] \[ = 11x^2 - 15x - 2 \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( k(x) = 11x^2 - 15x - 2 \) trên đoạn \( [0, 1] \). - Tính đạo hàm: \[ k'(x) = 22x - 15 \] - Đặt \( k'(x) = 0 \): \[ 22x - 15 = 0 \Rightarrow x = \frac{15}{22} \] Kiểm tra giá trị của \( k(x) \) tại các biên của đoạn: \[ k(0) = 11 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 - 2 = -2 \] \[ k(1) = 11 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 - 2 = 11 - 15 - 2 = -6 \] \[ k\left(\frac{15}{22}\right) = 11 \left(\frac{15}{22}\right)^2 - 15 \left(\frac{15}{22}\right) - 2 \] \[ = 11 \cdot \frac{225}{484} - 15 \cdot \frac{15}{22} - 2 \] \[ = \frac{2475}{484} - \frac{225}{22} - 2 \] \[ = \frac{2475}{484} - \frac{5062.5}{484} - \frac{968}{484} \] \[ = \frac{2475 - 5062.5 - 968}{484} \] \[ = \frac{-3555.5}{484} \approx -7.34 \] Kết luận Từ các giá trị đã tính, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số \( z = f(x, y) \) trên tam giác ONP là \(-2\) và đạt được tại điểm \( P(0, 2) \). Đáp án đúng là: C. Điểm P Câu 16. Câu hỏi: Cho hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\). Câu trả lời: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn \([-2, 2]\). - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. - Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: \( f(-2) = 0 \), \( f(-1) = 4 \), \( f(1) = 0 \), \( f(2) = 4 \). Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất: 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất: 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \).