xét tính đúng sai các khẳng định sau

Câu 3. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tọa độ điểm C là $(0;3;0).$ Hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và tâm O của đáy là trung điểm của AC và BD. Vì đáy là hình vuông, nên các đỉnh của đáy cách tâm O đều bằng nhau. Ta biết rằng cạnh đáy $CD = 3\sqrt{2}$. Do đó, khoảng cách từ tâm O đến mỗi đỉnh của đáy là: \[ OA = OB = OC = OD = \frac{CD}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Vì O là tâm của đáy, tọa độ của O là $(0,0,0)$. Ta có thể xác định tọa độ của các đỉnh đáy dựa vào vị trí của chúng trong hệ tọa độ. Giả sử tọa độ của A là $(x_1, y_1, 0)$, B là $(x_2, y_2, 0)$, C là $(x_3, y_3, 0)$ và D là $(x_4, y_4, 0)$. Do đáy là hình vuông, ta có thể chọn tọa độ của các đỉnh như sau: - A: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, 0)$ - B: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, 0)$ - C: $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, 0)$ - D: $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, 0)$ Tuy nhiên, theo đề bài, tọa độ của C là $(0, 3, 0)$. Điều này có thể do cách đặt tọa độ khác nhau hoặc do lỗi trong đề bài. Chúng ta sẽ tiếp tục với các phần khác dựa trên thông tin đã cho. b) Trọng tâm của tam giác SCD là điểm $G(1, -1, \frac{5}{3})$. Trọng tâm của tam giác SCD là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác đó. Giả sử tọa độ của S là $(x_S, y_S, z_S)$, C là $(0, 3, 0)$ và D là $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, 0)$. Trọng tâm G của tam giác SCD là: \[ G = \left( \frac{x_S + 0 - \frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}, \frac{y_S + 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}, \frac{z_S + 0 + 0}{3} \right) \] Theo đề bài, trọng tâm G là $(1, -1, \frac{5}{3})$. Do đó, ta có: \[ \frac{x_S - \frac{3\sqrt{2}}{2}}{3} = 1 \] \[ \frac{y_S + 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}}{3} = -1 \] \[ \frac{z_S}{3} = \frac{5}{3} \] Giải các phương trình này, ta có: \[ x_S - \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3 \Rightarrow x_S = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \] \[ y_S + 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -3 \Rightarrow y_S = -6 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \] \[ z_S = 5 \] c) Nếu $E(a, 0, b)$ là điểm trên mặt phẳng (Oxz) sao cho C, E, G thẳng hàng thì $a.b = -3$. Điểm E nằm trên mặt phẳng (Oxz), tức là tọa độ y của E là 0. Để C, E, G thẳng hàng, vectơ CE và CG phải cùng phương. Vectơ CE: \[ \overrightarrow{CE} = (a - 0, 0 - 3, b - 0) = (a, -3, b) \] Vectơ CG: \[ \overrightarrow{CG} = (1 - 0, -1 - 3, \frac{5}{3} - 0) = (1, -4, \frac{5}{3}) \] Để hai vectơ cùng phương, ta có: \[ \frac{a}{1} = \frac{-3}{-4} = \frac{b}{\frac{5}{3}} \] Từ đây, ta có: \[ a = \frac{3}{4} \] \[ b = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \] Do đó: \[ a \cdot b = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{16} \neq -3 \] d) Nếu $K(0, m, n)$ là điểm thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $KG + KD$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $4m - 3n = 0$. Điểm K nằm trên mặt phẳng (Oyz), tức là tọa độ x của K là 0. Để $KG + KD$ đạt giá trị nhỏ nhất, K phải nằm trên đường thẳng nối giữa G và D. Vectơ GD: \[ \overrightarrow{GD} = (-\frac{3\sqrt{2}}{2} - 1, -\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1, 0 - \frac{5}{3}) = (-\frac{3\sqrt{2}}{2} - 1, -\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1, -\frac{5}{3}) \] Để K nằm trên đường thẳng này, tọa độ của K phải thoả mãn phương trình đường thẳng này. Ta có: \[ m = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1 \] \[ n = -\frac{5}{3} \] Do đó: \[ 4m - 3n = 4(-\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1) - 3(-\frac{5}{3}) = -6\sqrt{2} + 4 + 5 = -6\sqrt{2} + 9 \neq 0 \] Kết luận: - Phần a) có thể có lỗi trong đề bài. - Phần b) đúng. - Phần c) sai. - Phần d) sai. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{b} \]