tập xác định Tính lim - tiệm cận Bản biến thiên Vẽ đồ thị

Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} \) có mẫu số là \( x - 1 \). Để hàm số có nghĩa, ta yêu cầu: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Bước 2: Tính giới hạn - Giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} \] Ta thấy rằng khi \( x \to 1 \), tử số \( -x^2 + x - 1 \) không bằng 0, còn mẫu số \( x - 1 \) tiến đến 0. Do đó, giới hạn này sẽ là vô cùng: \[ \lim_{x \to 1} \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} = \pm \infty \] - Giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x + 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x + 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = -x \] Do đó: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} = -x \] Bước 3: Xác định tiệm cận - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Tiệm cận xiên: \( y = -x \) Bước 4: Tìm đạo hàm và cực trị Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(-2x + 1)(x - 1) - (-x^2 + x - 1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + x - 1 + x^2 - x + 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Kiểm tra dấu của đạo hàm: - Khi \( x < 0 \), \( y' < 0 \) - Khi \( 0 < x < 1 \), \( y' > 0 \) - Khi \( 1 < x < 2 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 2 \), \( y' < 0 \) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \) và cực đại tại \( x = 2 \). Bước 5: Xác định các điểm đặc biệt - Điểm cực tiểu: \( x = 0 \), \( y = -1 \) - Điểm cực đại: \( x = 2 \), \( y = -3 \) Bước 6: Vẽ đồ thị - Đồ thị có tiệm cận đứng \( x = 1 \) và tiệm cận xiên \( y = -x \). - Đồ thị đi qua các điểm đặc biệt: \( (0, -1) \) và \( (2, -3) \). - Đồ thị tăng từ \( -\infty \) đến \( x = 0 \), giảm từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), tăng từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \), giảm từ \( x = 2 \) đến \( +\infty \). Đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} \)