Giúp với ạ

Câu 46. Để tìm giá trị của \(a + b + 2c\) của điểm \(D(a; b; c)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách từ \(B\) đến \(A\) và từ \(B\) đến \(C\): - Khoảng cách \(BA\): \[ BA = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] - Khoảng cách \(BC\): \[ BC = \sqrt{(2+4)^2 + (-1-7)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] 2. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: - Điểm \(D\) nằm trên đường phân giác trong góc \(B\), do đó tỉ lệ \(\frac{BD}{DA} = \frac{BC}{CA}\). 3. Tìm tọa độ của \(D\): - Ta biết rằng \(D\) chia đoạn thẳng \(AC\) theo tỉ lệ \(\frac{BC}{CA}\): \[ \frac{BD}{DA} = \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = 2 \] - Do đó, \(D\) chia đoạn thẳng \(AC\) theo tỉ lệ \(2:1\). 4. Sử dụng công thức tọa độ trung điểm: - Tọa độ của \(D\) là: \[ D = \left( \frac{2 \cdot (-4) + 1 \cdot 1}{2+1}, \frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot 2}{2+1}, \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)}{2+1} \right) \] \[ D = \left( \frac{-8 + 1}{3}, \frac{14 + 2}{3}, \frac{10 - 1}{3} \right) = \left( \frac{-7}{3}, \frac{16}{3}, 3 \right) \] 5. Tính giá trị của \(a + b + 2c\): - Với \(a = \frac{-7}{3}\), \(b = \frac{16}{3}\), và \(c = 3\): \[ a + b + 2c = \frac{-7}{3} + \frac{16}{3} + 2 \cdot 3 = \frac{-7 + 16}{3} + 6 = \frac{9}{3} + 6 = 3 + 6 = 9 \] Do đó, giá trị của \(a + b + 2c\) là \(9\). Đáp án đúng là: D. 9. Câu 47. Để tìm tọa độ tâm \( I(a, b, c) \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), ta cần sử dụng tính chất rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác đó. Bước 1: Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \). - Tọa độ trung điểm của \( AB \): \[ M_{AB} = \left( \frac{5 + 4}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{5 + 2}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, 2, \frac{7}{2} \right) \] - Vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường trung trực của \( AB \) là \( \overrightarrow{AB} = (-1, 2, -3) \). Phương trình đường trung trực của \( AB \): \[ -1(x - \frac{9}{2}) + 2(y - 2) - 3(z - \frac{7}{2}) = 0 \] \[ -x + \frac{9}{2} + 2y - 4 - 3z + \frac{21}{2} = 0 \] \[ -x + 2y - 3z + 11 = 0 \quad \text{(1)} \] Bước 2: Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \). - Tọa độ trung điểm của \( BC \): \[ M_{BC} = \left( \frac{4 - 3}{2}, \frac{3 - 2}{2}, \frac{2 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \] - Vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường trung trực của \( BC \) là \( \overrightarrow{BC} = (-7, -5, -1) \). Phương trình đường trung trực của \( BC \): \[ -7(x - \frac{1}{2}) - 5(y - \frac{1}{2}) - 1(z - \frac{3}{2}) = 0 \] \[ -7x + \frac{7}{2} - 5y + \frac{5}{2} - z + \frac{3}{2} = 0 \] \[ -7x - 5y - z + 8 = 0 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm tọa độ tâm \( I(a, b, c) \). \[ \begin{cases} -x + 2y - 3z + 11 = 0 \\ -7x - 5y - z + 8 = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 7: \[ -7x + 14y - 21z + 77 = 0 \] Lấy phương trình này trừ phương trình thứ hai: \[ (-7x + 14y - 21z + 77) - (-7x - 5y - z + 8) = 0 \] \[ 19y - 20z + 69 = 0 \] \[ 19y = 20z - 69 \] \[ y = \frac{20z - 69}{19} \] Thay \( y = \frac{20z - 69}{19} \) vào phương trình (1): \[ -x + 2 \left( \frac{20z - 69}{19} \right) - 3z + 11 = 0 \] \[ -x + \frac{40z - 138}{19} - 3z + 11 = 0 \] \[ -19x + 40z - 138 - 57z + 209 = 0 \] \[ -19x - 17z + 71 = 0 \] \[ x = \frac{-17z + 71}{19} \] Chọn \( z = 1 \): \[ y = \frac{20 \cdot 1 - 69}{19} = \frac{-49}{19} \] \[ x = \frac{-17 \cdot 1 + 71}{19} = \frac{54}{19} \] Tọa độ tâm \( I \) là \( \left( \frac{54}{19}, \frac{-49}{19}, 1 \right) \). Bước 4: Tính \( a + 2b + c \): \[ a + 2b + c = \frac{54}{19} + 2 \left( \frac{-49}{19} \right) + 1 \] \[ = \frac{54}{19} - \frac{98}{19} + 1 \] \[ = \frac{54 - 98}{19} + 1 \] \[ = \frac{-44}{19} + 1 \] \[ = \frac{-44 + 19}{19} \] \[ = \frac{-25}{19} \] Đáp số: \( a + 2b + c = \frac{-25}{19} \). Câu 48: Để tìm toạ độ của điểm H, ta cần xác định phương trình đường thẳng BC và đường thẳng AH vuông góc với BC. Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) Vectơ AB = B - A = (2 - 1, -1 - 2, 3 - 3) = (1, -3, 0) Vectơ AC = C - A = (-1 - 1, 1 - 2, 1 - 3) = (-2, -1, -2) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (6, -2, -7) \] Bước 2: Phương trình đường thẳng BC Vectơ BC = C - B = (-1 - 2, 1 + 1, 1 - 3) = (-3, 2, -2) Phương trình tham số của đường thẳng BC: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - 2t \end{array} \right. \] Bước 3: Tìm toạ độ của điểm H Điểm H nằm trên đường thẳng BC nên có toạ độ: \[ H(2 - 3t, -1 + 2t, 3 - 2t) \] Đường thẳng AH vuông góc với BC, do đó: \[ \vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0 \] Toạ độ của vectơ AH: \[ \vec{AH} = (2 - 3t - 1, -1 + 2t - 2, 3 - 2t - 3) = (1 - 3t, -3 + 2t, -2t) \] Tích vô hướng: \[ (1 - 3t)(-3) + (-3 + 2t)(2) + (-2t)(-2) = 0 \] \[ -3 + 9t - 6 + 4t + 4t = 0 \] \[ 17t - 9 = 0 \] \[ t = \frac{9}{17} \] Thay \( t = \frac{9}{17} \) vào phương trình tham số của đường thẳng BC: \[ x = 2 - 3 \left(\frac{9}{17}\right) = \frac{34 - 27}{17} = \frac{7}{17} \] \[ y = -1 + 2 \left(\frac{9}{17}\right) = \frac{-17 + 18}{17} = \frac{1}{17} \] \[ z = 3 - 2 \left(\frac{9}{17}\right) = \frac{51 - 18}{17} = \frac{33}{17} \] Do đó, toạ độ của điểm H là: \[ H \left( \frac{7}{17}, \frac{1}{17}, \frac{33}{17} \right) \] Bước 4: Tính giá trị của P \[ P = 17 \left( \frac{7}{17} + \frac{1}{17} + \frac{33}{17} \right) = 17 \left( \frac{41}{17} \right) = 41 \] Vậy giá trị của \( P \) là: \[ \boxed{41} \]