Giúp mình làm

Câu 11: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1\right) \] \[ y' = x^2 - 4x + 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta giải nó bằng cách phân tích thành nhân tử: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3) \] \[ y'' = 2x - 4 \] 4. Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn để xác định điểm cực tiểu: - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 \quad (\text{âm}) \] Vì \( y''(1) < 0 \), nên \( x = 1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 3 \): \[ y''(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \quad (\text{dương}) \] Vì \( y''(3) > 0 \), nên \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Vậy, điểm cực tiểu của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 \) là \( x = 3 \). Đáp án đúng là: \( D.~x=3 \). Câu 12: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng hàm số bằng cách tìm đạo hàm bậc nhất và bậc hai của chúng. Hàm số A: \( y = x^2 - 2x + 3 \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 2x - 2 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = 2 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 2 > 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Hàm số này chỉ có 1 điểm cực tiểu. Hàm số B: \( y = \frac{x^3}{3} - x^2 + 1 \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = x^2 - 2x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = 2x - 2 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \): \[ y''(0) = 2(0) - 2 = -2 < 0 \quad (\text{điểm cực đại}) \] \[ y''(2) = 2(2) - 2 = 2 > 0 \quad (\text{điểm cực tiểu}) \] Hàm số này có 1 điểm cực tiểu. Hàm số C: \( y = x^4 - x^2 \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 4x^3 - 2x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 2x = 0 \implies 2x(2x^2 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = 12x^2 - 2 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại \( x = 0 \) và \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ y''(0) = 12(0)^2 - 2 = -2 < 0 \quad (\text{điểm cực đại}) \] \[ y''\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 12\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2 = 12 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 6 - 2 = 4 > 0 \quad (\text{điểm cực tiểu}) \] \[ y''\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 12\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2 = 12 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 6 - 2 = 4 > 0 \quad (\text{điểm cực tiểu}) \] Hàm số này có 2 điểm cực tiểu. Hàm số D: \( y = -x^4 + \sqrt{2}x^2 + 1 \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = -4x^3 + 2\sqrt{2}x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 2\sqrt{2}x = 0 \implies 2x(-2x^2 + \sqrt{2}) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = -12x^2 + 2\sqrt{2} \] 4. Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại \( x = 0 \) và \( x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}} \): \[ y''(0) = -12(0)^2 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} > 0 \quad (\text{điểm cực tiểu}) \] \[ y''\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = -12\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + 2\sqrt{2} = -12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} = -6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2} < 0 \quad (\text{điểm cực đại}) \] \[ y''\left(-\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = -12\left(-\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + 2\sqrt{2} = -12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} = -6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2} < 0 \quad (\text{điểm cực đại}) \] Hàm số này có 1 điểm cực tiểu. Kết luận: Hàm số có 2 điểm cực tiểu là: \[ \boxed{C.~y=x^4-x^2} \] Câu 13: Để tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = -x^4 - 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 - 1) = -4x^3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm nghi ngờ là điểm cực trị: \[ -4x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0 \] 3. Xác định tính chất của các điểm này bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: - Phương pháp 1: Xét dấu của đạo hàm: - Khi \( x < 0 \), \( y' = -4x^3 > 0 \) (vì \( x^3 < 0 \)). - Khi \( x > 0 \), \( y' = -4x^3 < 0 \) (vì \( x^3 > 0 \)). Do đó, tại \( x = 0 \), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, suy ra \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-4x^3) = -12x^2 \] Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = -12(0)^2 = 0 \] Đạo hàm bậc hai không đủ để kết luận về điểm cực trị trong trường hợp này, nên ta quay lại phương pháp 1. 4. Kết luận: Hàm số \( y = -x^4 - 1 \) có duy nhất một điểm cực trị tại \( x = 0 \). Do đó, số điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = -x^4 - 1 \) là: \[ \boxed{B. 0} \] Câu 14: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \) và sau đó tính diện tích tam giác tạo thành bởi các điểm cực trị này. Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x. \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4x = 0. \] Rút gọn phương trình: \[ 4x(x^2 - 1) = 0. \] Phương trình này có nghiệm: \[ x = 0, \quad x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1. \] Vậy các điểm cực trị là \( x = -1, 0, 1 \). Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0. \] - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 1 = 1. \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0. \] Vậy các điểm cực trị là \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 0) \). Bước 3: Tính diện tích tam giác tạo bởi ba điểm cực trị Ba điểm cực trị tạo thành tam giác với tọa độ các đỉnh là \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 0) \). Diện tích tam giác có tọa độ các đỉnh \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\) được tính bằng công thức: \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|. \] Áp dụng công thức cho các điểm: \[ A = \frac{1}{2} \left| (-1)(1-0) + 0(0-0) + 1(0-1) \right| = \frac{1}{2} \left| -1 + 0 - 1 \right| = \frac{1}{2} \times 2 = 1. \] Vậy diện tích tam giác là 1. Kết luận: Diện tích tam giác tạo thành bởi ba điểm cực trị là 1. Do đó, đáp án đúng là D.1. Câu 17: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] 4. Thay các điểm tới hạn vào đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của các điểm này: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] Điều này cho thấy \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \] Điều này cho thấy \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. 5. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu \( x = 2 \): \[ y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) là: \[ y_{CT} = -3 \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y_{CT} = -3} \] Câu 19: Để tìm điểm cực đại của hàm số \( y = (x - 5)\sqrt[3]{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = (x - 5)x^{2/3} \). Ta có: \[ y' = \left( x - 5 \right)' x^{2/3} + \left( x - 5 \right) \left( x^{2/3} \right)' \] \[ y' = 1 \cdot x^{2/3} + (x - 5) \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} \] \[ y' = x^{2/3} + \frac{2}{3} (x - 5) x^{-1/3} \] \[ y' = x^{2/3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x - 5}{x^{1/3}} \] \[ y' = x^{2/3} + \frac{2(x - 5)}{3x^{1/3}} \] \[ y' = \frac{3x + 2(x - 5)}{3x^{1/3}} \] \[ y' = \frac{3x + 2x - 10}{3x^{1/3}} \] \[ y' = \frac{5x - 10}{3x^{1/3}} \] \[ y' = \frac{5(x - 2)}{3x^{1/3}} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{5(x - 2)}{3x^{1/3}} = 0 \] \[ 5(x - 2) = 0 \] \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] 3. Xét dấu của \( y' \) để xác định tính chất của điểm \( x = 2 \): - Khi \( x < 2 \): \[ x - 2 < 0 \quad \text{và} \quad x^{1/3} > 0 \quad \Rightarrow \quad y' < 0 \] - Khi \( x > 2 \): \[ x - 2 > 0 \quad \text{và} \quad x^{1/3} > 0 \quad \Rightarrow \quad y' > 0 \] Do đó, \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 2 \). Điều này cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). 4. Kết luận: Hàm số không có cực đại. Đáp án: D. Hàm số không có cực đại.