Giải chi tiết

Câu 18. Để tìm điểm $$ thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxz) sao cho $$ ngắn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxz): - Điểm $$ có điểm đối xứng qua mặt phẳng (Oxz) là $$. 2. Xác định đường thẳng nối A và B': - Đường thẳng nối $$ và $$ sẽ cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm $$. 3. Phương trình đường thẳng AB': - Vector $$. - Phương trình tham số của đường thẳng $$: $$ 4. Tìm giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng (Oxz): - Mặt phẳng (Oxz) có phương trình $$. - Thay $$ vào phương trình tham số: $$ - Thay $$ vào phương trình tham số để tìm tọa độ của $$: $$ - Vậy $$. 5. Tính giá trị của biểu thức $$: - Thay $$ và $$ vào biểu thức: $$ Vậy giá trị của biểu thức $$ là $$. Câu 19: Để ô tô có thể đi vào GARA, chiều rộng của đoạn đường đầu tiên phải đủ lớn để ô tô có thể quay bánh lái và đi vào cổng GARA. Ta sẽ tính toán dựa trên hình vẽ và kích thước của ô tô. 1. Xác định các thông số: - Chiều rộng của đoạn đường thẳng vào cổng GARA: 2,6 m. - Chiều rộng của ô tô: 1,9 m. - Chiều dài của ô tô: 5 m. 2. Tính góc quay bánh lái: - Góc quay bánh lái của ô tô thường là 45 độ. 3. Tính bán kính quay bánh lái: - Bán kính quay bánh lái của ô tô là khoảng 5,7 m (đây là giá trị chuẩn của nhiều loại ô tô). 4. Tính chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên: - Chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên phải đủ lớn để ô tô có thể quay bánh lái và đi vào cổng GARA. - Chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên = Chiều rộng của ô tô + Bán kính quay bánh lái - Chiều rộng của đoạn đường thẳng vào cổng GARA. $$ Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên là 5,0 m. Đáp số: 5,0 m. Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa chi phí dựa trên diện tích bề mặt của bồn chứa nước hình trụ. Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan - Bán kính đáy của bồn chứa nước: $$ - Chiều cao của bồn chứa nước: $$ - Diện tích xung quanh của bồn chứa nước: $$ - Diện tích hai đáy của bồn chứa nước: $$ Bước 2: Xác định tổng diện tích bề mặt của bồn chứa nước Tổng diện tích bề mặt của bồn chứa nước là: $$ Bước 3: Xác định thể tích của bồn chứa nước Thể tích của bồn chứa nước là: $$ Biết rằng thể tích của bồn chứa nước là 2000 lít, tức là: $$ $$ Bước 4: Thay $$ vào biểu thức tổng diện tích bề mặt $$ $$ Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích bề mặt Để tìm giá trị nhỏ nhất của $$, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $$ theo $$ và tìm điểm cực tiểu. $$ Đặt $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bước 6: Tính giá trị của $$ $$ Vậy bán kính đáy của bồn chứa nước để chi phí nhỏ nhất là khoảng 6.82 mét (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: Bán kính đáy của bồn chứa nước là 6.82 mét. Câu 21. Để đường thẳng $$ cắt đồ thị $$ tại hai điểm thuộc hai nhánh của $$, ta cần tìm điều kiện của $$ sao cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu. Phương trình hoành độ giao điểm: $$ Nhân cả hai vế với $$ (với $$): $$ $$ $$ $$ $$ Để phương trình này có hai nghiệm trái dấu, ta cần: 1. Hệ số $$ khác 0. 2. Tích các nghiệm $$ phải nhỏ hơn 0. Từ đó: $$ $$ $$ Do $$ là số nguyên trong khoảng $$, ta có các giá trị $$ thỏa mãn là: $$ Tổng các giá trị nguyên của $$ là: $$ Đáp số: $$ Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm $$. 2. Xác định tọa độ của điểm $$. 3. Tìm tọa độ của vectơ $$. 4. Tính tổng $$. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm $$ Điểm $$ có cao độ bằng 25 và $$. Ta giả sử tọa độ của $$ là $$. Ta có: $$ $$ $$ $$ Vì $$, ta có thể suy ra rằng $$ nằm chính giữa bốn điểm $$. Do đó, tọa độ của $$ là: $$ Bước 2: Xác định tọa độ của điểm $$ Điểm $$ có cao độ bằng 19 và nằm thẳng đứng dưới điểm $$. Do đó, tọa độ của $$ là: $$ Bước 3: Tìm tọa độ của vectơ $$ Vectơ $$ có tọa độ là: $$ Do đó, $$, $$, $$. Bước 4: Tính tổng $$ $$ Vậy $$.