Giải chi tiết

Câu 18. Để tìm điểm \( M(x;0;z) \) thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxz) sao cho \( MA + MB \) ngắn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxz): - Điểm \( B(1; -2; 3) \) có điểm đối xứng qua mặt phẳng (Oxz) là \( B'(1; 2; 3) \). 2. Xác định đường thẳng nối A và B': - Đường thẳng nối \( A(1; 3; 1) \) và \( B'(1; 2; 3) \) sẽ cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm \( M \). 3. Phương trình đường thẳng AB': - Vector \( \overrightarrow{AB'} = (1-1; 2-3; 3-1) = (0; -1; 2) \). - Phương trình tham số của đường thẳng \( AB' \): \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 3 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \] 4. Tìm giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng (Oxz): - Mặt phẳng (Oxz) có phương trình \( y = 0 \). - Thay \( y = 0 \) vào phương trình tham số: \[ 3 - t = 0 \implies t = 3 \] - Thay \( t = 3 \) vào phương trình tham số để tìm tọa độ của \( M \): \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \\ z = 1 + 2 \cdot 3 = 7 \end{cases} \] - Vậy \( M(1; 0; 7) \). 5. Tính giá trị của biểu thức \( P = 3z - x^2 \): - Thay \( x = 1 \) và \( z = 7 \) vào biểu thức: \[ P = 3 \cdot 7 - 1^2 = 21 - 1 = 20 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( 20 \). Câu 19: Để ô tô có thể đi vào GARA, chiều rộng của đoạn đường đầu tiên phải đủ lớn để ô tô có thể quay bánh lái và đi vào cổng GARA. Ta sẽ tính toán dựa trên hình vẽ và kích thước của ô tô. 1. Xác định các thông số: - Chiều rộng của đoạn đường thẳng vào cổng GARA: 2,6 m. - Chiều rộng của ô tô: 1,9 m. - Chiều dài của ô tô: 5 m. 2. Tính góc quay bánh lái: - Góc quay bánh lái của ô tô thường là 45 độ. 3. Tính bán kính quay bánh lái: - Bán kính quay bánh lái của ô tô là khoảng 5,7 m (đây là giá trị chuẩn của nhiều loại ô tô). 4. Tính chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên: - Chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên phải đủ lớn để ô tô có thể quay bánh lái và đi vào cổng GARA. - Chiều rộng tối thiểu của đoạn đường đầu tiên = Chiều rộng của ô tô + Bán kính quay bánh lái - Chiều rộng của đoạn đường thẳng vào cổng GARA. \[ x = 1,9 + 5,7 - 2,6 = 5,0 \text{ m} \] Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên là 5,0 m. Đáp số: 5,0 m. Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa chi phí dựa trên diện tích bề mặt của bồn chứa nước hình trụ. Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan - Bán kính đáy của bồn chứa nước: \( r \) - Chiều cao của bồn chứa nước: \( h \) - Diện tích xung quanh của bồn chứa nước: \( A_{xq} = 2\pi rh \) - Diện tích hai đáy của bồn chứa nước: \( A_{day} = 2\pi r^2 \) Bước 2: Xác định tổng diện tích bề mặt của bồn chứa nước Tổng diện tích bề mặt của bồn chứa nước là: \[ A_{tong} = A_{xq} + A_{day} = 2\pi rh + 2\pi r^2 \] Bước 3: Xác định thể tích của bồn chứa nước Thể tích của bồn chứa nước là: \[ V = \pi r^2 h \] Biết rằng thể tích của bồn chứa nước là 2000 lít, tức là: \[ \pi r^2 h = 2000 \] \[ h = \frac{2000}{\pi r^2} \] Bước 4: Thay \( h \) vào biểu thức tổng diện tích bề mặt \[ A_{tong} = 2\pi r \left( \frac{2000}{\pi r^2} \right) + 2\pi r^2 \] \[ A_{tong} = \frac{4000}{r} + 2\pi r^2 \] Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích bề mặt Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A_{tong} \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( A_{tong} \) theo \( r \) và tìm điểm cực tiểu. \[ A'_{tong} = -\frac{4000}{r^2} + 4\pi r \] Đặt \( A'_{tong} = 0 \): \[ -\frac{4000}{r^2} + 4\pi r = 0 \] \[ 4\pi r = \frac{4000}{r^2} \] \[ 4\pi r^3 = 4000 \] \[ r^3 = \frac{4000}{4\pi} \] \[ r^3 = \frac{1000}{\pi} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \] Bước 6: Tính giá trị của \( r \) \[ r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \approx \sqrt[3]{318.31} \approx 6.82 \] Vậy bán kính đáy của bồn chứa nước để chi phí nhỏ nhất là khoảng 6.82 mét (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: Bán kính đáy của bồn chứa nước là 6.82 mét. Câu 21. Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \((C)\) tại hai điểm thuộc hai nhánh của \((C)\), ta cần tìm điều kiện của \(m\) sao cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu. Phương trình hoành độ giao điểm: \[ \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 2} = -mx + 1 \] Nhân cả hai vế với \(x + 2\) (với \(x \neq -2\)): \[ x^2 + 2x + 3 = (-mx + 1)(x + 2) \] \[ x^2 + 2x + 3 = -mx^2 - 2mx + x + 2 \] \[ x^2 + 2x + 3 = -mx^2 - 2mx + x + 2 \] \[ x^2 + 2x + 3 + mx^2 + 2mx - x - 2 = 0 \] \[ (1 + m)x^2 + (2m + 1)x + 1 = 0 \] Để phương trình này có hai nghiệm trái dấu, ta cần: 1. Hệ số \(a = 1 + m\) khác 0. 2. Tích các nghiệm \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1+m}\) phải nhỏ hơn 0. Từ đó: \[ \frac{1}{1+m} < 0 \] \[ 1 + m < 0 \] \[ m < -1 \] Do \(m\) là số nguyên trong khoảng \([-5; 5]\), ta có các giá trị \(m\) thỏa mãn là: \[ m = -5, -4, -3, -2 \] Tổng các giá trị nguyên của \(m\) là: \[ -5 + (-4) + (-3) + (-2) = -14 \] Đáp số: \(-14\) Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm $K_0$. 2. Xác định tọa độ của điểm $K_1$. 3. Tìm tọa độ của vectơ $\overline{K_0K_1}$. 4. Tính tổng $a + b + c$. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm $K_0$ Điểm $K_0$ có cao độ bằng 25 và $K_0M = K_0N = K_0P = K_0Q$. Ta giả sử tọa độ của $K_0$ là $(x, y, 25)$. Ta có: \[ K_0M = \sqrt{(x - 90)^2 + y^2 + (25 - 30)^2} \] \[ K_0N = \sqrt{(x - 90)^2 + (y - 120)^2 + (25 - 30)^2} \] \[ K_0P = \sqrt{x^2 + (y - 120)^2 + (25 - 30)^2} \] \[ K_0Q = \sqrt{x^2 + y^2 + (25 - 30)^2} \] Vì $K_0M = K_0N = K_0P = K_0Q$, ta có thể suy ra rằng $K_0$ nằm chính giữa bốn điểm $M, N, P, Q$. Do đó, tọa độ của $K_0$ là: \[ K_0 = \left(\frac{90 + 90 + 0 + 0}{4}, \frac{0 + 120 + 120 + 0}{4}, 25\right) = (45, 60, 25) \] Bước 2: Xác định tọa độ của điểm $K_1$ Điểm $K_1$ có cao độ bằng 19 và nằm thẳng đứng dưới điểm $K_0$. Do đó, tọa độ của $K_1$ là: \[ K_1 = (45, 60, 19) \] Bước 3: Tìm tọa độ của vectơ $\overline{K_0K_1}$ Vectơ $\overline{K_0K_1}$ có tọa độ là: \[ \overline{K_0K_1} = (45 - 45, 60 - 60, 19 - 25) = (0, 0, -6) \] Do đó, $a = 0$, $b = 0$, $c = -6$. Bước 4: Tính tổng $a + b + c$ \[ a + b + c = 0 + 0 + (-6) = -6 \] Vậy $a + b + c = -6$.