Giúp mo vs

Câu 1. Phương trình $\sin z = 1$ có các nghiệm là: \[ z = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Lý do: - Hàm sin có chu kỳ là $2\pi$, nghĩa là $\sin(z + 2k\pi) = \sin z$ cho mọi $k \in \mathbb{Z}$. - $\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$. Do đó, các giá trị của $z$ thỏa mãn $\sin z = 1$ sẽ là $\frac{\pi}{2}$ cộng thêm bội số của chu kỳ $2\pi$. Vậy đáp án đúng là: A. $z = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. Câu 2. Để xác định dãy số nào là dãy số giảm, ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng của dãy số có giảm dần theo chỉ số \( n \) hay không. Ta sẽ xét từng phương án một: A. \( u_n = 2n, \forall n \in \mathbb{N}^ \) Ta thấy rằng khi \( n \) tăng lên, \( u_n \) cũng tăng lên vì \( 2n \) là một hàm tuyến tính tăng. Do đó, dãy số này không phải là dãy số giảm. B. \( u_n = 1 - 3n, \forall n \in \mathbb{N}^ \) Ta thấy rằng khi \( n \) tăng lên, \( u_n \) giảm đi vì \( 1 - 3n \) là một hàm tuyến tính giảm. Do đó, dãy số này là dãy số giảm. C. \( u_n = (-1)^n, \forall n \in \mathbb{N}^ \) Ta thấy rằng dãy số này luân phiên giữa 1 và -1, không phải là dãy số giảm. D. \( u_n = 2008, \forall n \in \mathbb{N}^ \) Ta thấy rằng tất cả các số hạng đều bằng 2008, không thay đổi theo \( n \). Do đó, dãy số này không phải là dãy số giảm. Từ các phân tích trên, ta kết luận rằng dãy số \( u_n = 1 - 3n \) là dãy số giảm. Đáp án đúng là: B. \( u_n = 1 - 3n, \forall n \in \mathbb{N}^ \) Câu 3. Trước tiên, ta cần hiểu rõ về cấp số cộng. Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai trở đi) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một hằng số cố định gọi là công sai. Trong bài toán này, ta đã biết công sai \( d = 11 \). Điều này có nghĩa là mỗi số hạng tiếp theo trong dãy sẽ bằng số hạng liền trước nó cộng thêm 11. Ta xét từng khẳng định: A. \( u_n = u_{n+1} + 11, \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là khẳng định sai vì theo định nghĩa của cấp số cộng, \( u_{n+1} = u_n + 11 \), không phải \( u_n = u_{n+1} + 11 \). B. \( u_{n+1} = u_n - 11, \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là khẳng định sai vì theo định nghĩa của cấp số cộng, \( u_{n+1} = u_n + 11 \), không phải \( u_{n+1} = u_n - 11 \). C. \( u_{n+1} = u_n \cdot 11, \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là khẳng định sai vì theo định nghĩa của cấp số cộng, \( u_{n+1} = u_n + 11 \), không phải \( u_{n+1} = u_n \cdot 11 \). D. \( u_{n+1} = u_n + 11, \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là khẳng định đúng vì theo định nghĩa của cấp số cộng, mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng liền trước nó cộng với công sai, ở đây là 11. Vậy khẳng định đúng là: D. \( u_{n+1} = u_n + 11, \forall n \in \mathbb{N}^ \) Đáp án: D. Câu 4. Để xác định khẳng định đúng về công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng, ta sẽ sử dụng công thức tổng quát của tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. Công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) \] Trong đó: - \( S_n \) là tổng của n số hạng đầu tiên. - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên. - \( u_n \) là số hạng thứ n. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( S_n = \frac{1}{2}(u_1 + u_n), \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là sai vì công thức này thiếu nhân với \( n \). B. \( S_n = n(u_1 + u_n), \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là sai vì công thức này nhân thừa \( n \) và không chia đôi. C. \( S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + u_n), \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là sai vì công thức này thêm thừa \( 2u_1 \) thay vì \( u_n \). D. \( S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n), \forall n \in \mathbb{N}^ \) - Đây là đúng vì công thức này chính xác theo công thức tổng quát của tổng n số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng. Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{D. S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n), \forall n \in \mathbb{N}^} \] Câu 5. Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=-3$ và công bội $q=2$. Ta sẽ tính số hạng thứ hai $u_2$ của cấp số nhân này. Theo công thức của cấp số nhân, số hạng thứ hai $u_2$ được tính bằng: \[ u_2 = u_1 \times q \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ u_2 = -3 \times 2 = -6 \] Vậy số hạng thứ hai của cấp số nhân là $-6$. Do đó, khẳng định đúng là: C. $u_2 = -6$ Đáp án: C. $u_2 = -6$ Câu 6. Để tính giới hạn $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right) = \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right) \cdot \frac{\sqrt{n^2+4n} + n}{\sqrt{n^2+4n} + n} \] Bước 2: Nhân liên hợp: \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{(\sqrt{n^2+4n})^2 - n^2}{\sqrt{n^2+4n} + n} \] \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{n^2 + 4n - n^2}{\sqrt{n^2+4n} + n} \] \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{4n}{\sqrt{n^2+4n} + n} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \(n\) để dễ dàng hơn trong việc tìm giới hạn: \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{4n/n}{\sqrt{n^2+4n}/n + n/n} \] \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1} \] Bước 4: Tìm giới hạn khi \(n \to +\infty\): \[ = \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} \] \[ = \frac{4}{1 + 1} \] \[ = \frac{4}{2} \] \[ = 2 \] Vậy giới hạn $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right)$ bằng 2. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 7. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(2^n + 3^n - 4^n\right)$, ta sẽ phân tích từng thành phần của biểu thức này. 1. Xét giới hạn của mỗi thành phần: - $\lim_{n\rightarrow+\infty} 2^n = +\infty$ - $\lim_{n\rightarrow+\infty} 3^n = +\infty$ - $\lim_{n\rightarrow+\infty} 4^n = +\infty$ 2. Ta thấy rằng tất cả các thành phần đều tiến đến $+\infty$ khi $n$ tiến đến $+\infty$. Tuy nhiên, để hiểu rõ hơn về sự tiến đến vô cùng của biểu thức tổng, ta cần so sánh tốc độ tăng của các thành phần này. 3. Ta nhận thấy rằng $4^n$ tăng nhanh hơn nhiều so với $2^n$ và $3^n$. Do đó, khi $n$ tiến đến $+\infty$, $4^n$ sẽ lớn hơn nhiều so với $2^n$ và $3^n$. Điều này có nghĩa là $-4^n$ sẽ làm cho toàn bộ biểu thức tiến đến $-\infty$. 4. Để minh họa rõ hơn, ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ 2^n + 3^n - 4^n = 4^n \left(\left(\frac{2}{4}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n - 1\right) \] Khi $n$ tiến đến $+\infty$, ta có: \[ \left(\frac{2}{4}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \rightarrow 0 \] \[ \left(\frac{3}{4}\right)^n \rightarrow 0 \] Do đó: \[ 4^n \left(\left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n - 1\right) \rightarrow 4^n \cdot (-1) = -4^n \rightarrow -\infty \] Vậy giới hạn của biểu thức $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(2^n + 3^n - 4^n\right)$ là $-\infty$. Đáp án đúng là: D. $-\infty$. Câu 8. Để tính tổng của dãy số \( S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^3} + ... + \left( -\frac{1}{3} \right)^n + ... \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn lặp lại theo quy luật của cấp số nhân. Cấp số nhân này có số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( q = -\frac{1}{3} \). Công thức tính tổng của một cấp số nhân vô hạn \( S \) khi \( |q| < 1 \) là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \] Vậy tổng của dãy số là: \[ S = \frac{3}{4} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{3}{4}$. Câu 9. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 5}{3 - x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to \infty \)), cả tử số và mẫu số đều tăng lên không giới hạn. Tuy nhiên, để dễ dàng hơn trong việc tìm giới hạn, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \). 2. Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 5}{3 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} + \frac{5}{x}}{\frac{3}{x} - \frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x}}{\frac{3}{x} - 1} \] 3. Tính giới hạn từng phần: - Khi \( x \to \infty \), \(\frac{5}{x} \to 0\) và \(\frac{3}{x} \to 0\). - Do đó, biểu thức trở thành: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 0}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2 \] Như vậy, giới hạn của biểu thức \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 5}{3 - x}\) là \(-2\). Đáp án đúng là: A. $-\infty$. Tuy nhiên, theo tính toán trên, đáp án đúng là \(-2\). Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định xem khẳng định nào là đúng. A. Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng phân biệt a,b cùng song song với mặt phẳng ($\beta$) thì mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng ($\beta$). - Điều này không phải lúc nào cũng đúng. Hai đường thẳng a và b có thể song song với mặt phẳng ($\beta$), nhưng mặt phẳng $(\alpha)$ có thể cắt mặt phẳng ($\beta$) nếu hai đường thẳng a và b không đủ để xác định mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng ($\beta$). Do đó, khẳng định A là sai. B. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau. - Điều này đúng theo tính chất của các mặt phẳng song song. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba, thì hai mặt phẳng đó cũng song song với nhau. Do đó, khẳng định B là đúng. C. Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng ($\beta$) thì mỗi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ đều song song với một đường thẳng bất kì nằm trong ($\beta$). - Điều này không phải lúc nào cũng đúng. Mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ có thể song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng ($\beta$), nhưng không phải tất cả các đường thẳng trong $(\alpha)$ đều song song với tất cả các đường thẳng trong ($\beta$). Do đó, khẳng định C là sai. D. Qua một điểm ở ngoài mặt phẳng $(\alpha)$ có duy nhất một đường thẳng song song với $(\alpha)$. - Điều này không đúng. Qua một điểm ở ngoài mặt phẳng $(\alpha)$, có vô số đường thẳng song song với $(\alpha)$. Do đó, khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. Đáp án: B.