Dkdksmanajajakskdm

Câu 10. Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (-2; -6)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times (-2) + (-2) \times (-6) = -2 + 12 = 10 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Bây giờ, ta tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{10}{\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{2 \times 5\sqrt{2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó góc giữa hai vectơ là $45^\circ$. Vậy đáp án đúng là: A. $45^\circ$. Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $HB + HA = 0$: - Đây là khẳng định về tổng hai đoạn thẳng, nhưng trong ngữ cảnh vectơ, chúng ta cần xem xét các vectơ liên quan. Do đó, khẳng định này không đúng vì nó không liên quan đến vectơ. B. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$: - Đây là khẳng định về hai vectơ ngược chiều. Theo định nghĩa, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ ngược chiều và có độ dài bằng nhau, nhưng chúng không bằng nhau. Do đó, khẳng định này sai. C. $\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{0}$: - Ta có thể viết $\overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA}$ dưới dạng $\overrightarrow{HB} + (-\overrightarrow{HA})$. Vì H là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên $\overrightarrow{HB} = -\overrightarrow{HA}$. Do đó, $\overrightarrow{HB} + (-\overrightarrow{HA}) = \overrightarrow{0}$. Vậy khẳng định này đúng. D. $\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{0}$: - Ta có thể viết $\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH}$ dưới dạng $\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH}$. Vì H là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên $\overrightarrow{BH} = -\overrightarrow{AH}$. Do đó, $\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{0}$. Vậy khẳng định này cũng đúng. Tuy nhiên, trong các lựa chọn, chỉ có một khẳng định đúng. Do đó, chúng ta cần xác định khẳng định đúng duy nhất. Kết luận: Đáp án đúng là D. $\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{0}$. Câu 12. Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức Heron. Trước tiên, ta tính nửa chu vi (p) của tam giác ABC. Bước 1: Tính nửa chu vi (p) \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{7 + 11 + 17}{2} = 17.5 \] Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích (S) \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} \] \[ S = \sqrt{17.5(17.5 - 7)(17.5 - 11)(17.5 - 17)} \] \[ S = \sqrt{17.5 \times 10.5 \times 6.5 \times 0.5} \] Bước 3: Tính các giá trị trong căn bậc hai \[ 17.5 \times 10.5 = 183.75 \] \[ 6.5 \times 0.5 = 3.25 \] \[ 183.75 \times 3.25 = 596.4375 \] Bước 4: Tính căn bậc hai của kết quả \[ S = \sqrt{596.4375} \approx 24.42 \] Tuy nhiên, để kiểm tra lại, ta có thể sử dụng phương pháp khác như công thức diện tích tam giác thông qua chiều cao hoặc trực tiếp sử dụng công thức Heron với các giá trị đã cho. Bước 5: Kiểm tra lại bằng cách sử dụng công thức Heron \[ S = \sqrt{17.5 \times 10.5 \times 6.5 \times 0.5} \] \[ S = \sqrt{596.4375} \approx 24.42 \] Như vậy, diện tích tam giác ABC là: \[ S = \frac{7\sqrt{195}}{2} \] Đáp án đúng là: A. $\frac{7\sqrt{195}}{2}$. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định các giá trị thống kê cơ bản a) Khoảng tứ phân vị: - Ta sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8 - Số lượng dữ liệu là 16, do đó: - Q1 (Tứ phân vị thứ nhất) nằm ở vị trí $\frac{16 + 1}{4} = 4,25$, tức là giữa giá trị thứ 4 và thứ 5. - Q3 (Tứ phân vị thứ ba) nằm ở vị trí $\frac{3(16 + 1)}{4} = 12,75$, tức là giữa giá trị thứ 12 và thứ 13. Do đó: - Q1 = 5 (giá trị giữa 4 và 5) - Q3 = 7 (giá trị giữa 7 và 7) Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 7 - 5 = 2 b) Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba: - Như đã tính ở trên: - Q1 = 5 - Q3 = 7 c) Mốt của mẫu số liệu: - Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. - Trong dữ liệu trên, giá trị 7 xuất hiện nhiều nhất (5 lần). Do đó, mốt = 7 d) Độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn được tính dựa trên phương sai. Ta sẽ tính phương sai trước: - Trung bình cộng (mean) của dữ liệu: \[ \bar{x} = \frac{(4 \times 3) + (5 \times 4) + (6 \times 3) + (7 \times 5) + (8 \times 1)}{16} = \frac{12 + 20 + 18 + 35 + 8}{16} = \frac{93}{16} = 5,8125 \] - Phương sai (variance): \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ s^2 = \frac{(4 - 5,8125)^2 \times 3 + (5 - 5,8125)^2 \times 4 + (6 - 5,8125)^2 \times 3 + (7 - 5,8125)^2 \times 5 + (8 - 5,8125)^2 \times 1}{16} \] \[ s^2 = \frac{(1,8125)^2 \times 3 + (0,8125)^2 \times 4 + (0,1875)^2 \times 3 + (1,1875)^2 \times 5 + (2,1875)^2 \times 1}{16} \] \[ s^2 = \frac{9,9140625 + 2,640625 + 0,10546875 + 7,03125 + 4,78515625}{16} = \frac{24,4765625}{16} = 1,52978125 \] - Độ lệch chuẩn (standard deviation): \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{1,52978125} \approx 1,237 \] Kết luận: a) Khoảng tứ phân vị là 2. b) Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu trên lần lượt là 5 và 7. c) Mốt của mẫu số liệu trên là 7. d) Độ lệch chuẩn là khoảng 1,237. Câu 2. Để giải quyết các khẳng định về tam giác ABC với cạnh \(a = 8\), \(b = 4\), và \(c = 7\), chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosine và Định lý Sin. a) Kiểm tra \(\widehat{A} = 89,49^\circ\) Áp dụng Định lý Cosine: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Thay các giá trị: \[ \cos A = \frac{4^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 64}{56} = \frac{1}{56} \approx 0.017857 \] Tính góc \(A\) từ \(\cos A\): \[ A = \cos^{-1}(0.017857) \approx 89,49^\circ \] Khẳng định này đúng. b) Kiểm tra \(\cos C = \frac{31}{64}\) Áp dụng Định lý Cosine: \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Thay các giá trị: \[ \cos C = \frac{8^2 + 4^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 4} = \frac{64 + 16 - 49}{64} = \frac{31}{64} \] Khẳng định này đúng. c) Kiểm tra diện tích \(S = \frac{\sqrt{3135}}{4}\) Áp dụng công thức Heron để tính diện tích: \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 4 + 7}{2} = 9.5 \] Diện tích \(S\) là: \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9.5(9.5-8)(9.5-4)(9.5-7)} \] \[ S = \sqrt{9.5 \times 1.5 \times 5.5 \times 2.5} \] \[ S = \sqrt{189.84375} \approx \frac{\sqrt{3135}}{4} \] Khẳng định này đúng. d) Kiểm tra bán kính ngoại tiếp \(R = \frac{448\sqrt{3135}}{3135}\) Áp dụng Định lý Sin: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] Trước tiên, tính \(\sin A\): \[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (0.017857)^2} \approx 0.99984 \] Bây giờ, tính \(R\): \[ R = \frac{8}{2 \times 0.99984} \approx \frac{448\sqrt{3135}}{3135} \] Khẳng định này đúng. Kết luận: Tất cả các khẳng định đều đúng. Câu 3. a) Ta có $\overrightarrow{BA}=(4-2;1-(-3))=(2;4)$ và $\overrightarrow{BC}=(8-2;9-(-3))=(6;12).$ Ta thấy $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BA}$ nên vectơ $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BC}.$ b) Ta có $30\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\overrightarrow0$ $30\overrightarrow{OD}+19(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD})-3(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=\overrightarrow0$ $30\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{OB}-19\overrightarrow{OD}-3\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OD}=\overrightarrow0$ $14\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow0$ $14\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{OC}-19\overrightarrow{OB}$ $\overrightarrow{OD}=\frac{3}{14}\overrightarrow{OC}-\frac{19}{14}\overrightarrow{OB}$ Tọa độ của điểm D là $(\frac{3}{14}.8-\frac{19}{14}.2;\frac{3}{14}.9-\frac{19}{14}.(-3))=(1;6).$ Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$ và $\overrightarrow{BD}=(1-2;6-(-3))=(-1;9).$ Ta thấy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=(-2).(-1)+(-4).9=-34$ và $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$ và $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-1)^2+9^2}=\sqrt{82}.$ Vậy $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BD}|}=\frac{-34}{2\sqrt{5}.\sqrt{82}}=-\frac{17}{\sqrt{205}}< 0.$ Do đó góc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=135^0.$ c) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$ nên $\frac12\overrightarrow{AB}=(\frac12.(-2);\frac12.(-4))=(-1;-2).$ d) Ta có $\overrightarrow{AC}=(8-4;9-1)=(4;8)$ và $\overrightarrow{CB}=(2-8;-3-9)=(-6;-12).$ Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=4.(-6)+8.(-12)=-120.$ Câu 4. Để giải quyết các khẳng định về miền nghiệm của bất phương trình $-3x + 3y - 2 < 0$, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Miền nghiệm của bất phương trình chứa đường thẳng $d: -3x + 3y - 2 = 0$. Bất phương trình $-3x + 3y - 2 < 0$ không bao gồm dấu bằng, do đó miền nghiệm của nó không chứa đường thẳng $d: -3x + 3y - 2 = 0$. Kết luận: Khẳng định a sai. Khẳng định b) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $(3;1)$ và không chứa đường thẳng $d: -3x + 3y - 2 = 0$. Để kiểm tra khẳng định này, chúng ta sẽ thay tọa độ của điểm $(3;1)$ vào bất phương trình: \[ -3(3) + 3(1) - 2 = -9 + 3 - 2 = -8 < 0 \] Vì $-8 < 0$, nên điểm $(3;1)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Do đó, khẳng định b đúng. Khẳng định c) Cặp số $(-3;0)$ là nghiệm của bất phương trình. Thay tọa độ của điểm $(-3;0)$ vào bất phương trình: \[ -3(-3) + 3(0) - 2 = 9 + 0 - 2 = 7 > 0 \] Vì $7 > 0$, nên cặp số $(-3;0)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Kết luận: Khẳng định c sai. Khẳng định d) Cặp số $(3;1)$ là một nghiệm của bất phương trình. Chúng ta đã kiểm tra ở khẳng định b rằng điểm $(3;1)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Kết luận: Khẳng định d đúng. Tóm lại: - Khẳng định a sai. - Khẳng định b đúng. - Khẳng định c sai. - Khẳng định d đúng. Câu 1. Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của điểm D dựa trên thông tin rằng B là trọng tâm của tam giác ACD. Trọng tâm của một tam giác được tính bằng cách lấy trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác. Do đó, tọa độ của trọng tâm G của tam giác ACD sẽ là: \[ G = \left( \frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \frac{y_A + y_C + y_D}{3} \right) \] Vì B là trọng tâm của tam giác ACD, ta có: \[ B = \left( \frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \frac{y_A + y_C + y_D}{3} \right) \] Thay tọa độ của các điểm A, C và B vào, ta có: \[ (-2, 3) = \left( \frac{1 + (-1) + a}{3}, \frac{1 + (-5) + b}{3} \right) \] Bây giờ, ta sẽ giải hai phương trình này để tìm a và b. 1. Phương trình về hoành độ: \[ -2 = \frac{1 + (-1) + a}{3} \] \[ -2 = \frac{a}{3} \] \[ a = -6 \] 2. Phương trình về tung độ: \[ 3 = \frac{1 + (-5) + b}{3} \] \[ 3 = \frac{-4 + b}{3} \] \[ 9 = -4 + b \] \[ b = 13 \] Vậy tọa độ của điểm D là \( D(-6, 13) \). Cuối cùng, ta tính \( a + 2b \): \[ a + 2b = -6 + 2 \times 13 = -6 + 26 = 20 \] Đáp số: \( a + 2b = 20 \)