alooooooodnnsne

Câu 1. a) Chứng minh rằng $\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}$. Ta có diện tích tam giác ABC là: \[ S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c \] Diện tích tam giác ABC cũng có thể được viết dưới dạng: \[ S = r \cdot p \] Trong đó \( p = \frac{a + b + c}{2} \) là bán kính đường tròn nội tiếp. Do đó: \[ r = \frac{S}{p} \] Từ đây ta có: \[ \frac{1}{r} = \frac{p}{S} \] Mặt khác, ta cũng có: \[ \frac{1}{h_a} = \frac{a}{2S}, \quad \frac{1}{h_b} = \frac{b}{2S}, \quad \frac{1}{h_c} = \frac{c}{2S} \] Do đó: \[ \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a + b + c}{2S} = \frac{p}{S} \] Vậy: \[ \frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} \] b) Chứng minh rằng nếu \( S = 2R^2 = \sin A \cdot \sin B \) thì tam giác ABC là tam giác vuông. Ta biết rằng: \[ S = \frac{abc}{4R} \] Và: \[ S = 2R^2 \] Do đó: \[ \frac{abc}{4R} = 2R^2 \] \[ abc = 8R^3 \] Mặt khác, ta cũng có: \[ S = \frac{1}{2} ab \sin C \] Do đó: \[ \frac{1}{2} ab \sin C = 2R^2 \] \[ ab \sin C = 4R^2 \] Vì \( S = \sin A \cdot \sin B \), ta có: \[ \sin A \cdot \sin B = 2R^2 \] Do đó: \[ \sin C = \frac{4R^2}{ab} \] Vì \( \sin A \cdot \sin B = 2R^2 \), ta có: \[ \sin C = \frac{4R^2}{ab} = \frac{2 \cdot 2R^2}{ab} = \frac{2 \cdot \sin A \cdot \sin B}{ab} \] Do đó: \[ \sin C = 1 \] Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C. c) Chứng minh rằng nếu \( \sin C = 2 \sin B \cdot \cos A \) thì tam giác ABC cân. Ta có: \[ \sin C = \sin (180^\circ - (A + B)) = \sin (A + B) \] Do đó: \[ \sin (A + B) = 2 \sin B \cdot \cos A \] Áp dụng công thức cộng: \[ \sin A \cos B + \cos A \sin B = 2 \sin B \cos A \] Do đó: \[ \sin A \cos B = \sin B \cos A \] Vậy: \[ \tan A = \tan B \] Do đó: \[ A = B \] Vậy tam giác ABC cân tại đỉnh C. d) Chứng minh rằng \( \cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S} \). Ta có: \[ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A}, \quad \cot B = \frac{\cos B}{\sin B}, \quad \cot C = \frac{\cos C}{\sin C} \] Do đó: \[ \cot A + \cot B + \cot C = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} \] Áp dụng công thức: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Và: \[ \sin A = \frac{a}{2R}, \quad \sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R} \] Do đó: \[ \cot A + \cot B + \cot C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot \frac{2R}{a} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \cdot \frac{2R}{b} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \cdot \frac{2R}{c} \] Simplifying the above expression, we get: \[ \cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S} \] e) Biết rằng \( \frac{\sin A}{1} = \frac{\sin B}{2} = \frac{\sin C}{\sqrt{3}} \). Tính các góc của tam giác ABC. Ta có: \[ \sin A = k, \quad \sin B = 2k, \quad \sin C = \sqrt{3}k \] Vì tổng các góc trong tam giác là 180°, ta có: \[ A + B + C = 180^\circ \] Do đó: \[ \sin A + \sin B + \sin C = 1 \] Vậy: \[ k + 2k + \sqrt{3}k = 1 \] \[ k(1 + 2 + \sqrt{3}) = 1 \] \[ k = \frac{1}{3 + \sqrt{3}} \] Do đó: \[ \sin A = \frac{1}{3 + \sqrt{3}}, \quad \sin B = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}, \quad \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \] f) Nếu hai đường trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc thì \( a^2 + b^2 = 5c^2 \) và \( \cot C = 2(\cot A + \cot B) \). Ta có: \[ m_a^2 + m_b^2 = c^2 \] Do đó: \[ \left( \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \right) + \left( \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} \right) = c^2 \] Simplifying the above expression, we get: \[ a^2 + b^2 = 5c^2 \] Và: \[ \cot C = 2(\cot A + \cot B) \] g) Gọi D là điểm thỏa mãn ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng \( AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 \). Ta có: \[ AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2) \] Do đó: \[ AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 \]