Cho ∆ ABC (AB<AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với phân giác của góc A cắt AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD=CE.

Để chứng minh rằng \(BD = CE\) trong tam giác \(ABC\) với \(AB < AC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - \(M\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(BM = MC\). - \(AD\) là phân giác của góc \(A\), tức là \( \angle BAD = \angle CAD \). - \(DE\) là đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AD\), tức là \(MD \perp AD\) và \(ME \perp AD\). 2. Xét các tam giác vuông: - Xét tam giác \(BMD\) và tam giác \(CME\): - \(BM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)). - \(MD = ME\) (vì \(DE\) là đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AD\)). 3. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau: - Ta thấy rằng tam giác \(BMD\) và tam giác \(CME\) có: - \(BM = MC\) - \(MD = ME\) - \( \angle BDM = \angle CEM = 90^\circ \) (vì \(DE\) vuông góc với \(AD\)) Do đó, theo tiêu chí cạnh huyền - cạnh góc vuông, ta có: \[ \triangle BMD \cong \triangle CME \] 4. Từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau: - Vì hai tam giác này bằng nhau, nên các đoạn thẳng tương ứng cũng bằng nhau: \[ BD = CE \] Vậy ta đã chứng minh được \(BD = CE\).