x + y + z + 1 1 = 2√x + 4√y - 1 + 6sqrt(z - 2)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi để tách các biểu thức dưới dạng bình phương hoàn chỉnh. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - \( x \geq 0 \) - \( y \geq 1 \) - \( z \geq 2 \) Bước 2: Biến đổi phương trình: \[ x + y + z + 11 = 2\sqrt{x} + 4\sqrt{y - 1} + 6\sqrt{z - 2} \] Bước 3: Nhóm các biểu thức để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: \[ x + y + z + 11 - 2\sqrt{x} - 4\sqrt{y - 1} - 6\sqrt{z - 2} = 0 \] Bước 4: Biến đổi phương trình thành tổng các bình phương: \[ (x - 2\sqrt{x} + 1) + (y - 1 - 4\sqrt{y - 1} + 4) + (z - 2 - 6\sqrt{z - 2} + 9) = 0 \] Bước 5: Viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ (\sqrt{x} - 1)^2 + (\sqrt{y - 1} - 2)^2 + (\sqrt{z - 2} - 3)^2 = 0 \] Bước 6: Vì tổng của các bình phương bằng 0, nên mỗi bình phương phải bằng 0: \[ (\sqrt{x} - 1)^2 = 0 \] \[ (\sqrt{y - 1} - 2)^2 = 0 \] \[ (\sqrt{z - 2} - 3)^2 = 0 \] Bước 7: Giải các phương trình bình phương: \[ \sqrt{x} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \] \[ \sqrt{y - 1} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{y - 1} = 2 \Rightarrow y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5 \] \[ \sqrt{z - 2} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{z - 2} = 3 \Rightarrow z - 2 = 9 \Rightarrow z = 11 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1, y = 5, z = 11 \]