giúp mình với ạ

Câu 1: Để giải phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{4}) - \cos(4x) = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này không chứa phân thức, căn thức hoặc logarit nên ĐKXĐ là tất cả các số thực. Bước 2: Biến đổi phương trình Ta sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Trong đó, ta đặt: \[ A = x + \frac{\pi}{4} \] \[ B = \frac{\pi}{2} - 4x \] Do đó: \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) - \cos(4x) = \sin(x + \frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{2} - 4x) \] Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{2} - 4x) = 2 \cos \left(\frac{(x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2}\right) \sin \left(\frac{(x + \frac{\pi}{4}) - (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2}\right) \] Tính các biểu thức trong cos và sin: \[ \frac{(x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - 4x}{2} = \frac{-3x + \frac{3\pi}{4}}{2} = -\frac{3x}{2} + \frac{3\pi}{8} \] \[ \frac{(x + \frac{\pi}{4}) - (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + 4x}{2} = \frac{5x - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{5x}{2} - \frac{\pi}{8} \] Do đó: \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) - \cos(4x) = 2 \cos \left(-\frac{3x}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) \] Phương trình trở thành: \[ 2 \cos \left(-\frac{3x}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình Phương trình này bằng 0 khi một trong hai nhân tử bằng 0: \[ \cos \left(-\frac{3x}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sin \left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = 0 \] - Với $\cos \left(-\frac{3x}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) = 0$: \[ -\frac{3x}{2} + \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ -\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8} + k\pi \] \[ -\frac{3x}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{8} + k\pi \] \[ -\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{8} + k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{12} - \frac{2k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] - Với $\sin \left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = 0$: \[ \frac{5x}{2} - \frac{\pi}{8} = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{8} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{12} - \frac{2k\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]