Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (a) có phương trình - 38x + 3y +42z- 22 =0. Điểm nào trong các điểm sau không thuộc mặt phẳng (a) ? A. H (7;-2;7) B. E (-5;0;-4) C. G (-2;-4;-1) D. D (9;-4;-...

Câu 1: Để kiểm tra xem mỗi điểm có thuộc mặt phẳng (a) hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình đó có thỏa mãn hay không. Phương trình của mặt phẳng (a) là: \[ -38x + 3y + 42z - 22 = 0 \] Ta sẽ lần lượt thay tọa độ của các điểm vào phương trình này để kiểm tra: 1. Kiểm tra điểm H(7; -2; 7): \[ -38 \cdot 7 + 3 \cdot (-2) + 42 \cdot 7 - 22 = -266 - 6 + 294 - 22 = 0 \] Phương trình đúng, vậy điểm H thuộc mặt phẳng (a). 2. Kiểm tra điểm E(-5; 0; -4): \[ -38 \cdot (-5) + 3 \cdot 0 + 42 \cdot (-4) - 22 = 190 + 0 - 168 - 22 = 0 \] Phương trình đúng, vậy điểm E thuộc mặt phẳng (a). 3. Kiểm tra điểm G(-2; -4; -1): \[ -38 \cdot (-2) + 3 \cdot (-4) + 42 \cdot (-1) - 22 = 76 - 12 - 42 - 22 = 0 \] Phương trình đúng, vậy điểm G thuộc mặt phẳng (a). 4. Kiểm tra điểm D(9; -4; -4): \[ -38 \cdot 9 + 3 \cdot (-4) + 42 \cdot (-4) - 22 = -342 - 12 - 168 - 22 = -544 \neq 0 \] Phương trình sai, vậy điểm D không thuộc mặt phẳng (a). Vậy điểm không thuộc mặt phẳng (a) là: D. D (9; -4; -4). Câu 2: Để tìm phương trình mặt cầu (S) có đường kính CD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tâm mặt cầu: Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng CD. Ta tính tọa độ trung điểm của C và D: \[ I = \left( \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}, \frac{z_C + z_D}{2} \right) \] Thay tọa độ của C (1; -8; 3) và D (-17; 20; -13): \[ I = \left( \frac{1 + (-17)}{2}, \frac{-8 + 20}{2}, \frac{3 + (-13)}{2} \right) = \left( \frac{-16}{2}, \frac{12}{2}, \frac{-10}{2} \right) = (-8, 6, -5) \] 2. Tính bán kính mặt cầu: Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm C hoặc D. Ta tính khoảng cách từ I đến C: \[ R = \sqrt{(x_C - x_I)^2 + (y_C - y_I)^2 + (z_C - z_I)^2} \] Thay tọa độ của C (1; -8; 3) và I (-8; 6; -5): \[ R = \sqrt{(1 - (-8))^2 + (-8 - 6)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{(1 + 8)^2 + (-8 - 6)^2 + (3 + 5)^2} \] \[ R = \sqrt{9^2 + (-14)^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 196 + 64} = \sqrt{341} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu có tâm I(-8, 6, -5) và bán kính \(R = \sqrt{341}\) là: \[ (x + 8)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = (\sqrt{341})^2 \] \[ (x + 8)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = 341 \] Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \[ (x + 8)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = 341 \] Đáp án đúng là: D. \((x + 8)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = 341\) Câu 3: Để viết phương trình mặt phẳng (B) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EH với E (0;2;4) và H (-8;4;4), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm I của đoạn thẳng EH: Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng EH là: \[ I = \left( \frac{0 + (-8)}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = (-4, 3, 4) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B): Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EH sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ EH: \[ \overrightarrow{EH} = (-8 - 0, 4 - 2, 4 - 4) = (-8, 2, 0) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B) là $\vec{n} = (-8, 2, 0)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng (B): Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng. Ta có: \[ -8(x + 4) + 2(y - 3) + 0(z - 4) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -8x - 32 + 2y - 6 = 0 \] \[ -8x + 2y - 38 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (B) là: \[ -8x + 2y - 38 = 0 \] Đáp án đúng là: C. -8x + 2y - 38 = 0 Câu 4: Để tính bán kính của mặt cầu (S) : \( x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 8y + 12z + 24 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \), \( y \), và \( z \): \[ x^2 - 2x + y^2 - 8y + z^2 + 12z + 24 = 0 \] 2. Hoàn chỉnh bình phương cho mỗi biến: - Với \( x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] - Với \( y \): \[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16 \] - Với \( z \): \[ z^2 + 12z = (z + 6)^2 - 36 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 + (z + 6)^2 - 36 + 24 = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 6)^2 - 1 - 16 - 36 + 24 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 6)^2 - 29 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 6)^2 = 29 \] 5. Nhận diện phương trình mặt cầu chuẩn: Phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong đó tâm của mặt cầu là \( (a, b, c) = (1, 4, -6) \) và bán kính \( R = \sqrt{29} \). Vậy bán kính của mặt cầu (S) là \( \sqrt{29} \). Đáp án đúng là A. R= √29. Câu 5: Để viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm B(2;3;3) và nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-1; -1; 5)$, ta sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b; c)$ là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm B(2;3;3) có tọa độ $(x_0; y_0; z_0) = (2; 3; 3)$ - Vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-1; -1; 5)$ có các thành phần $(a; b; c) = (-1; -1; 5)$ Thay vào công thức: \[ -1(x - 2) - 1(y - 3) + 5(z - 3) = 0 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ -x + 2 - y + 3 + 5z - 15 = 0 \] \[ -x - y + 5z - 10 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ -x - y + 5z - 10 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: B. -x - y + 5z - 10 = 0