Xin ví dụ vài bài toán

Câu 1. Để giải quyết các yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a. Tập xác định của hàm số Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến độc lập (thường là \(x\)) mà hàm số có nghĩa. Ví dụ, nếu hàm số là \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}\), thì tập xác định của hàm số này là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \] (vì \(x = 2\) làm mẫu số bằng 0). b. Giao điểm với trục Ox, Oy, số giao điểm với trục Ox, Oy - Giao điểm với trục Oy: Để tìm giao điểm của đồ thị với trục Oy, ta thay \(x = 0\) vào hàm số. Ví dụ, nếu hàm số là \(f(x) = x^2 - 4\), thì giao điểm với trục Oy là: \[ f(0) = 0^2 - 4 = -4 \] Vậy giao điểm là \((0, -4)\). - Giao điểm với trục Ox: Để tìm giao điểm của đồ thị với trục Ox, ta giải phương trình \(f(x) = 0\). Ví dụ, nếu hàm số là \(f(x) = x^2 - 4\), thì ta giải phương trình: \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] Vậy giao điểm là \((2, 0)\) và \((-2, 0)\). c. Tìm khoảng đồng biến hoặc nghịch biến Để tìm khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số, ta tính đạo hàm của hàm số và giải bất phương trình \(f'(x) > 0\) (đồng biến) hoặc \(f'(x) < 0\) (nghịch biến). Ví dụ, nếu hàm số là \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\), ta tính đạo hàm: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] Giải bất phương trình \(f'(x) > 0\): \[ 3x^2 - 6x > 0 \] \[ 3x(x - 2) > 0 \] \[ x < 0 \text{ hoặc } x > 2 \] Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty, 0)\) và \((2, +\infty)\). Giải bất phương trình \(f'(x) < 0\): \[ 3x^2 - 6x < 0 \] \[ 3x(x - 2) < 0 \] \[ 0 < x < 2 \] Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((0, 2)\). d. Tọa độ các điểm cực trị, tọa độ tâm đối xứng - Cực trị: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \(f'(x) = 0\) và kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai bên mỗi nghiệm. Ví dụ, nếu \(f'(x) = 3x^2 - 6x\), ta giải phương trình: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Kiểm tra dấu của \(f'(x)\) ở hai bên mỗi nghiệm: - \(x < 0\): \(f'(x) > 0\) (hàm số đồng biến) - \(0 < x < 2\): \(f'(x) < 0\) (hàm số nghịch biến) - \(x > 2\): \(f'(x) > 0\) (hàm số đồng biến) Vậy \(x = 0\) là điểm cực đại và \(x = 2\) là điểm cực tiểu. Tọa độ các điểm cực trị: - Điểm cực đại: \(f(0) = 2\), tọa độ là \((0, 2)\) - Điểm cực tiểu: \(f(2) = -2\), tọa độ là \((2, -2)\) - Tâm đối xứng: Nếu hàm số là hàm lẻ (tức là \(f(-x) = -f(x)\)), thì tâm đối xứng là gốc tọa độ \((0, 0)\). Ví dụ, nếu hàm số là \(f(x) = x^3\), ta thấy: \[ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \] Vậy tâm đối xứng là \((0, 0)\). Kết luận - Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) - Giao điểm với trục Oy: \((0, -4)\) - Giao điểm với trục Ox: \((2, 0)\) và \((-2, 0)\) - Khoảng đồng biến: \((-\infty, 0)\) và \((2, +\infty)\) - Khoảng nghịch biến: \((0, 2)\) - Điểm cực đại: \((0, 2)\) - Điểm cực tiểu: \((2, -2)\) - Tâm đối xứng: \((0, 0)\) Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ Giả sử tọa độ của ba điểm là: - $A(x_1, y_1)$ - $B(x_2, y_2)$ - $C(x_3, y_3)$ Tọa độ của các vectơ: - $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ - $\overrightarrow{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1)$ - $\overrightarrow{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2)$ b. Độ dài đoạn thẳng $AB$, $AC$, $BC$ Độ dài đoạn thẳng được tính bằng công thức: - $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ - $|AC| = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}$ - $|BC| = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}$ c. Tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1) \] Tích có hướng: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1) \] d. Tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm Trung điểm của đoạn thẳng $AB$: \[ M_{AB} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Trọng tâm của tam giác $ABC$: \[ G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \] e. Cosin góc $A$, góc $B$, góc $C$. Hoặc diện tích tam giác $ABC$ nếu nó vuông Cosin góc $A$: \[ \cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|AB| |AC|} \] Cosin góc $B$: \[ \cos B = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|BA| |BC|} \] Cosin góc $C$: \[ \cos C = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|CA| |CB|} \] Diện tích tam giác $ABC$ (nếu nó vuông): Diện tích tam giác vuông được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh góc vuông thứ nhất} \times \text{cạnh góc vuông thứ hai} \] Kết luận Chúng ta đã giải quyết từng phần của bài toán theo yêu cầu. Các bước trên đã cung cấp đầy đủ thông tin về tọa độ vectơ, độ dài đoạn thẳng, tích vô hướng, tích có hướng, tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, cosin các góc và diện tích tam giác (nếu nó vuông). Câu 3. Để giải quyết yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a. Tập xác định của hàm số Hàm số $y = f(x)$ là phân thức bậc nhất hoặc bậc ba. Để tìm tập xác định của hàm số này, ta cần tìm các giá trị của $x$ làm mẫu số bằng không (nếu có). Giả sử hàm số có dạng: \[ y = \frac{P(x)}{Q(x)} \] Trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức. Tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{ x | Q(x) = 0 \} \] b. Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hoặc giao với OY Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số là các đường thẳng $x = a$ sao cho $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$. Các giá trị $a$ này là các nghiệm của phương trình $Q(x) = 0$. Tiệm cận ngang: Tiệm cận ngang của hàm số là các đường thẳng $y = b$ sao cho $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$. Để tìm tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. Giao với trục OY: Giao điểm của hàm số với trục OY là điểm $(0, f(0))$, nếu $f(0)$ tồn tại. c. Đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ là: \[ f'(x) = \left( \frac{P(x)}{Q(x)} \right)' = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2} \] d. Khoảng đồng biến, nghịch biến hoặc cực trị Khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên khoảng $I$ nếu $f'(x) > 0$ trên $I$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $I$ nếu $f'(x) < 0$ trên $I$. Cực trị: - Điểm cực đại là điểm $x_0$ sao cho $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) < 0$. - Điểm cực tiểu là điểm $x_0$ sao cho $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) > 0$. Kết luận 1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{ x | Q(x) = 0 \}$ 2. Tiệm cận đứng: Các giá trị $x$ làm $Q(x) = 0$ 3. Tiệm cận ngang: Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to \pm \infty$ 4. Giao với OY: $(0, f(0))$ 5. Đạo hàm: $f'(x) = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2}$ 6. Khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị: Xác định dựa trên dấu của $f'(x)$ và $f''(x)$ Đây là các bước chi tiết để giải quyết yêu cầu của đề bài. Câu 4. a) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ hoặc $\overrightarrow{AD}$: - Vì A, B và D là các đỉnh của hình lập phương cạnh a, nên độ dài của mỗi cạnh là a. - Do đó, độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ đều là a. b) Hai vectơ bằng nhau: - Trong hình lập phương, các cạnh song song và bằng nhau. - Ví dụ, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ vì AB và DC là hai cạnh song song và bằng nhau. c) Góc giữa hai vectơ đơn giản (chỉ có 90° hoặc 45°): - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là 90° vì AB và AD là hai cạnh vuông góc với nhau. - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 45° vì AC là đường chéo của mặt phẳng ABCD và tạo thành góc 45° với AB. d) Độ dài tổng các vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ hoặc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$: - Tổng vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ là vectơ $\overrightarrow{AC}$, vì C là đỉnh chung của cả AB và AD. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là đường chéo của mặt phẳng ABCD, do đó độ dài là $a\sqrt{2}$. - Tổng vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ là vectơ $\overrightarrow{AC'}$, vì C' là đỉnh chung của cả AB, AD và AA'. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC'}$ là đường chéo của hình lập phương, do đó độ dài là $a\sqrt{3}$. Tóm lại: a) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là a. b) Hai vectơ bằng nhau: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. c) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là 90°; góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 45°. d) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ là $a\sqrt{2}$; độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ là $a\sqrt{3}$.