câu 1 một hình tam giác

Câu 1. Để tính chu vi của hình tam giác, ta cần cộng độ dài ba cạnh lại với nhau. Chu vi của hình tam giác là: \[ C = a + b + c \] Thay các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) vào công thức: \[ C = 14 + 17 + 15 \] \[ C = 46 \text{ cm} \] Do mỗi cạnh có thể chênh lệch ±0,1 cm, nên chu vi cũng có thể chênh lệch ±0,3 cm (vì có 3 cạnh). Vậy chu vi của hình tam giác là: \[ 46 \text{ cm} \pm 0,3 \text{ cm} \] Đáp số: 46 cm ± 0,3 cm Câu 2. Để tìm tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CM}\): - Tọa độ của \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3, 2 - 1) = (-4, 1) \] - Gọi tọa độ của điểm \(M\) là \((x, y)\). Tọa độ của \(\overrightarrow{CM}\): \[ \overrightarrow{CM} = M - C = (x + 5, y - 1) \] 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AM}\): - Tọa độ của \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x - 3, y - 1) \] 3. Thay vào phương trình đã cho: \[ \overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0} \] Thay các vectơ vào phương trình: \[ (x - 3, y - 1) + 3(-4, 1) - 2(x + 5, y - 1) = (0, 0) \] 4. Tính toán từng thành phần: - Thành phần x: \[ (x - 3) + 3(-4) - 2(x + 5) = 0 \] \[ x - 3 - 12 - 2x - 10 = 0 \] \[ -x - 25 = 0 \] \[ x = -25 \] - Thành phần y: \[ (y - 1) + 3(1) - 2(y - 1) = 0 \] \[ y - 1 + 3 - 2y + 2 = 0 \] \[ -y + 4 = 0 \] \[ y = 4 \] 5. Kết luận: Tọa độ của điểm \(M\) là \((-25, 4)\). Đáp số: \((-25, 4)\). Câu 3. Bước 1: Đặt ẩn và lập phương trình Gọi số bánh nướng sản xuất là \( x \) (chiếc) Gọi số bánh dẻo sản xuất là \( y \) (chiếc) Bước 2: Xác định điều kiện - Số lượng bột mì không vượt quá 600 kg: \[ 120x + 160y \leq 600000 \] - Số lượng đường không vượt quá 240 kg: \[ 60x + 40y \leq 240000 \] - Lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng: \[ y \leq 3x \] Bước 3: Biểu diễn lợi nhuận Lợi nhuận từ bánh nướng là \( 8000x \) (đồng) Lợi nhuận từ bánh dẻo là \( 6000y \) (đồng) Tổng lợi nhuận là: \[ P = 8000x + 6000y \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta sẽ vẽ các đường thẳng đại diện cho các điều kiện trên và tìm điểm cực đại trong vùng thỏa mãn tất cả các điều kiện. 1. Vẽ đường thẳng \( 120x + 160y = 600000 \): \[ y = \frac{600000 - 120x}{160} = 3750 - \frac{3}{4}x \] 2. Vẽ đường thẳng \( 60x + 40y = 240000 \): \[ y = \frac{240000 - 60x}{40} = 6000 - \frac{3}{2}x \] 3. Vẽ đường thẳng \( y = 3x \). Bước 5: Tìm giao điểm của các đường thẳng - Giao điểm của \( y = 3750 - \frac{3}{4}x \) và \( y = 6000 - \frac{3}{2}x \): \[ 3750 - \frac{3}{4}x = 6000 - \frac{3}{2}x \] \[ \frac{3}{4}x = 2250 \] \[ x = 3000 \] \[ y = 3750 - \frac{3}{4}(3000) = 1500 \] - Giao điểm của \( y = 3750 - \frac{3}{4}x \) và \( y = 3x \): \[ 3750 - \frac{3}{4}x = 3x \] \[ 3750 = \frac{15}{4}x \] \[ x = 1000 \] \[ y = 3(1000) = 3000 \] - Giao điểm của \( y = 6000 - \frac{3}{2}x \) và \( y = 3x \): \[ 6000 - \frac{3}{2}x = 3x \] \[ 6000 = \frac{9}{2}x \] \[ x = 1333.33 \] \[ y = 3(1333.33) = 4000 \] (không thỏa mãn vì vượt quá điều kiện bột mì) Bước 6: Kiểm tra các điểm cực đại - Điểm (3000, 1500): \[ P = 8000(3000) + 6000(1500) = 24000000 + 9000000 = 33000000 \text{ (đồng)} \] - Điểm (1000, 3000): \[ P = 8000(1000) + 6000(3000) = 8000000 + 18000000 = 26000000 \text{ (đồng)} \] Kết luận: Giá trị lớn nhất của lợi nhuận là 33 triệu đồng, đạt được khi sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và 1500 chiếc bánh dẻo. Câu 4. Trước tiên, ta sẽ xác định các vectơ liên quan trong hình bình hành ABCD. 1. Ta biết rằng trong hình bình hành, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. 2. Xác định $\overrightarrow{BE}$: \[ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \] 3. Xác định $\overrightarrow{BF}$: \[ \overrightarrow{BF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} \] 4. Ta cần tìm $\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AF}$. 5. Xác định $\overrightarrow{AE}$: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \] Vì $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, nên: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] 6. Xác định $\overrightarrow{AF}$: \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} \] Ta biết rằng $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, nên: \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \] 7. Bây giờ, ta cần tìm $k$ sao cho $\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AF}$: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{AF} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \] Để $\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AF}$, ta so sánh các thành phần tương ứng: \[ \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = k \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \right) \] So sánh hệ số của $\overrightarrow{AB}$: \[ 1 = k \cdot \frac{3}{4} \implies k = \frac{4}{3} \] Kiểm tra lại với hệ số của $\overrightarrow{AD}$: \[ \frac{1}{3} = k \cdot \frac{1}{4} \implies k = \frac{4}{3} \] Kết quả đúng, vậy $k = \frac{4}{3}$. Đáp số: $k = \frac{4}{3}$.