từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB đến đường tròn (O) B là tiếp điểm. lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho AB=AC a) chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) vẽ đường kính...

a) Ta có \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(OB \perp AB\). Xét tam giác \(OBA\) và \(OCA\): - \(OA\) chung - \(AB = AC\) (theo đề bài) - \(OB = OC\) (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn \((O)\)) Do đó, tam giác \(OBA\) và \(OCA\) bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Suy ra \(\angle OCA = \angle OBA = 90^\circ\). Vậy \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\). b) Vì \(BE\) là đường kính của đường tròn \((O)\), ta có \(OE = OB = R\). Xét tam giác \(OAE\) và \(OCE\): - \(OA = OC\) (vì \(OA = 2R\) và \(OC = R\)) - \(OE\) chung - \(AE = CE\) (do \(E\) là trung điểm của \(AC\)) Do đó, tam giác \(OAE\) và \(OCE\) bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Suy ra \(\angle OEA = \angle OEC = 90^\circ\). Vậy \(OA \parallel AC\) (hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau). c) Ta có \(OA = 2R\) và \(OA\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(I\). Diện tích tứ giác \(BOCI\) là tổng diện tích của hai tam giác \(BOC\) và \(COI\). Diện tích tam giác \(BOC\) là: \[ S_{BOC} = \frac{1}{2} \times OB \times OC \times \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \times R \times R = \frac{R^2}{2} \] Diện tích tam giác \(COI\) là: \[ S_{COI} = \frac{1}{2} \times OC \times CI \times \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \times R \times R = \frac{R^2}{2} \] Vậy diện tích tứ giác \(BOCI\) là: \[ S_{BOCI} = S_{BOC} + S_{COI} = \frac{R^2}{2} + \frac{R^2}{2} = R^2 \] Đáp số: Diện tích tứ giác \(BOCI\) là \(R^2\).