Cho ∆ ABC, gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC; và M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA,AE,EF,FD.
a) Chứng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC.
b) Chứng minh: Các tứ giác DAEF;MNPQ là hình bình hành.
c) Khi tam giác ABC vuông tại A thì các tứ giác DAEF;MNPQ là hình gì? Chứng minh?

Question

Accepted Answer

a) Ta có $E $ là trung điểm $\mathrm{AC}, \mathrm{F}$ là trung điểm $BC $ nên $EF $ là đường trung bình $ riangle \mathrm{ABC}$
b) Ta có $EF $ là đường trung bình $ riangle \mathrm{ABC}(\mathrm{cmt}) \Rightarrow \mathrm{EF} / / \mathrm{AB} \quad \& \mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$ mà $D $ là trung điểm $AB $ nên $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{EF}=\mathrm{AD} \ \mathrm{EF} / / \mathrm{AD}\end{array} \Rightarrow \mathrm{ADFE} ight.$ là hình bình hành
Xét $\Delta \mathrm{ADE}$ có $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm $\mathrm{AD}, \mathrm{AE} \Rightarrow \mathrm{MN} / / \mathrm{DE} \& \mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{DE}$
$\mathrm{Cmtt} \Rightarrow \mathrm{PQ} / / \mathrm{DE} \quad \& \mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{DE} \Rightarrow \mathrm{PQ}=\mathrm{MN} \quad \& \mathrm{PQ} / / \mathrm{MN} \Rightarrow \mathrm{PQMN}$ là hình bình hành
c) Khi $ riangle \mathrm{ABC}$ vuông tại $A $ thì $\widehat{\mathrm{A}}=90^{\circ} \Rightarrow$ Hình bình hành $DAEF $ có $\widehat{\mathrm{A}}=90^{\circ}$ nên $DAEF $ là hình chữ nhật.

Khi $\widehat{\mathrm{A}}=90^{\circ}$ thì $DAEF $ là hình chữ nhật $=>\mathrm{AF}=\mathrm{DE}$
Mặt khác, theo tính chất đường trung bình ta có $\mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{DE}, \mathrm{NP}=\frac{1}{2} \mathrm{AF}$ khi đó $\mathrm{MN}=\mathrm{NP}$
$=> MNPQ $ là hình bình hành có $M N=N P$ nên $MNPQ $ là hình thoi

Cho ∆ ABC, gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC; và M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA,AE,EF,FD. a) Chứng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC. b) Chứng minh...