Cho tam giác ABC đều ,các đường cao AH, BK cắt nhau tại G. Tia phân giác góc BKH cắt các đoạn GC, GH, BC lần lượt tại M, N, Q. Chứng minh rằng KM = NQ
Giúp mình với!

Question

Accepted Answer

Vì $\displaystyle \vartriangle $ABC đều
$\displaystyle \Rightarrow $AH và BK đồng thời là đường trung tuyến
Lại có AH cắt BK tại G$\displaystyle \Rightarrow $G là trọng tâm $\displaystyle \vartriangle $ABC
$\displaystyle \Rightarrow $G đồng thời là giao điểm của 3 đường phân giác $\displaystyle \vartriangle $ABC
$\displaystyle \Rightarrow $CG là phân giác $\displaystyle \widehat{ACB} \Rightarrow \widehat{ACG} =30^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow $AG là phân giác $\displaystyle \widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{CAN} =30^{o}$
Vì $\displaystyle \vartriangle $ABC đều $\displaystyle \Rightarrow $AC = BC
$\displaystyle \Rightarrow $AK = CK = CH = BH
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $CHK cân tại C
Lại có$\displaystyle \widehat{ACB} =60^{o}$ ($\displaystyle \vartriangle $ABC đều)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $CHK đều $\displaystyle \Rightarrow $CH = HK = CK
$\displaystyle \Rightarrow $HK = BH $\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $BHK cân tại H$\displaystyle \Rightarrow \widehat{HBK} =\widehat{HKB}$
Lại có: $\displaystyle \widehat{HBK} +\widehat{HKB} =\widehat{CHK} =60^{o}$.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{HBK} =\widehat{HKB} =30^{o}\
\Rightarrow \widehat{BKQ} =\widehat{HKQ} =15^{o}\
\Rightarrow \widehat{CKM} =75^{o}
\end{array}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{CKM} +\widehat{AKN} =180^{o} \Rightarrow \widehat{AKN} =105^{o}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $CKM có:
$\displaystyle \widehat{CMK} +\widehat{MCK} +\widehat{MKC} =180^{o}$ (tổng 3 góc trong $\displaystyle \vartriangle $)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{CMK} =75^{o} =\widehat{CKM} \Rightarrow \vartriangle $CKM cân tại C
$\displaystyle \Rightarrow $CK = CM
Mà CK = AK (cmt)$\displaystyle \Rightarrow $CM = AK
Ta có: $\displaystyle \widehat{CMK} +\widehat{CMQ} =180^{o} \Rightarrow \widehat{CMQ} =180^{o}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $AKN và $\displaystyle \vartriangle $CMQ có:
$\displaystyle \widehat{KAN} =\widehat{MCQ} =30^{o}$
AK = CM (cmt)
$\displaystyle \widehat{AKN} =\widehat{CMQ} =105^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle AKN=\vartriangle CMQ$ (g.c.g)
$\displaystyle \Rightarrow KN=MQ$ (tính chất 2 $\displaystyle \vartriangle $bằng nhau)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow KM+MN=MN+NQ\
\Rightarrow KM=NQ\ ( dpcm)
\end{array}$

Cho tam giác ABC đều ,các đường cao AH, BK cắt nhau tại G. Tia phân giác góc BKH cắt các đoạn GC, GH, BC lần lượt tại M, N, Q. Chứng minh rằng KM = NQ Giúp mình với!