Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB tại E và DF vuông góc với AC tại F. a) Trên tia đối của tia FD lấy điểm G sao cho FG = FD . Chứng minh tứ giác ADC...

a) Ta có: \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BD = DC\). \(DE \perp AB\) và \(DF \perp AC\) nên \(DE\) và \(DF\) là đường cao hạ từ đỉnh \(D\) xuống các cạnh \(AB\) và \(AC\) của tam giác \(ABC\). Do đó, \(DE\) và \(DF\) là đường cao của tam giác \(ABD\) và \(ACD\) tương ứng. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Do đó, \(AD\) cũng là đường trung tuyến của tam giác \(ABD\) và \(ACD\). Vậy \(AD\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(ABD\) và \(ACD\). Suy ra \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\). Vậy \(AD\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\). Do đó, \(AD\) là đường chéo của hình thang \(ABCD\). Ta có: \(FG = FD\) và \(F\) là trung điểm của \(DG\). Vậy \(FD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AG\). Do đó, \(FD\) vuông góc với \(AG\) tại \(F\). Vậy \(FD\) là đường chéo của hình thang \(ADCG\). Ta có: \(AD\) và \(FD\) là hai đường chéo của hình thang \(ADCG\). Vậy \(ADCG\) là hình thoi. b) Ta có: \(H\) là trung điểm của \(AD\) nên \(AH = HD\). Vì \(HI = HF\) nên \(H\) là trung điểm của \(IF\). Vậy \(H\) là trung điểm của \(IF\) và \(AD\). Do đó, \(H\) là trung điểm của \(AI\) và \(DI\). Vậy \(AI\) và \(DI\) là hai đường thẳng đi qua trung điểm của \(AD\) và \(IF\). Do đó, \(AI\) và \(DI\) vuông góc với nhau tại \(H\). Vậy \(AI \perp DI\).