Giải hộ với

Câu 10. Trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', vectơ $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ chiều cao của lăng trụ, tức là vectơ chỉ từ đỉnh A lên đỉnh A' thẳng đứng. Ta xét các vectơ đã cho: - Vectơ $\overrightarrow{CC'}$ cũng là vectơ chỉ chiều cao của lăng trụ, tức là vectơ chỉ từ đỉnh C lên đỉnh C' thẳng đứng. - Vectơ $\overrightarrow{BC}$ là vectơ nằm trong mặt đáy ABC, không phải là vectơ chỉ chiều cao. - Vectơ $\overrightarrow{B'B}$ là vectơ chỉ chiều cao của lăng trụ nhưng ngược chiều với $\overrightarrow{AA'}$, tức là vectơ chỉ từ đỉnh B' xuống đỉnh B thẳng đứng. - Vectơ $\overrightarrow{C'C}$ là vectơ chỉ chiều cao của lăng trụ nhưng ngược chiều với $\overrightarrow{AA'}$, tức là vectơ chỉ từ đỉnh C' xuống đỉnh C thẳng đứng. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AA'}$ bằng vectơ $\overrightarrow{CC'}$. Đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{CC'}$. Câu 11. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trọng số trung tâm của mỗi nhóm: \[ \begin{aligned} &\text{Nhóm } [4;6): \quad x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \\ &\text{Nhóm } [6;8): \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \\ &\text{Nhóm } [8;10): \quad x_3 = \frac{8 + 10}{2} = 9 \\ &\text{Nhóm } [10;12): \quad x_4 = \frac{10 + 12}{2} = 11 \\ &\text{Nhóm } [12;14): \quad x_5 = \frac{12 + 14}{2} = 13 \\ \end{aligned} \] - Tính tổng số lượng các quả mít: \[ n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{6 \cdot 5 + 12 \cdot 7 + 19 \cdot 9 + 9 \cdot 11 + 4 \cdot 13}{50} = \frac{30 + 84 + 171 + 99 + 52}{50} = \frac{436}{50} = 8.72 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{aligned} &\text{Nhóm } [4;6): \quad f_1 \cdot (x_1 - \bar{x})^2 = 6 \cdot (5 - 8.72)^2 = 6 \cdot (-3.72)^2 = 6 \cdot 13.8384 = 83.0304 \\ &\text{Nhóm } [6;8): \quad f_2 \cdot (x_2 - \bar{x})^2 = 12 \cdot (7 - 8.72)^2 = 12 \cdot (-1.72)^2 = 12 \cdot 2.9584 = 35.5008 \\ &\text{Nhóm } [8;10): \quad f_3 \cdot (x_3 - \bar{x})^2 = 19 \cdot (9 - 8.72)^2 = 19 \cdot (0.28)^2 = 19 \cdot 0.0784 = 1.4896 \\ &\text{Nhóm } [10;12): \quad f_4 \cdot (x_4 - \bar{x})^2 = 9 \cdot (11 - 8.72)^2 = 9 \cdot (2.28)^2 = 9 \cdot 5.1984 = 46.7856 \\ &\text{Nhóm } [12;14): \quad f_5 \cdot (x_5 - \bar{x})^2 = 4 \cdot (13 - 8.72)^2 = 4 \cdot (4.28)^2 = 4 \cdot 18.3184 = 73.2736 \\ \end{aligned} \] - Tổng các giá trị trên: \[ \sum_{i=1}^{5} f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2 = 83.0304 + 35.5008 + 1.4896 + 46.7856 + 73.2736 = 240.08 \] - Phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{240.08}{50} = 4.8016 \] 3. Làm tròn phương sai đến hàng phần nghìn: \[ s^2 \approx 4.802 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\boxed{4.802}\). Câu 12. Để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1; 0; 3) + (-2; 2; 5) = (1 - 2; 0 + 2; 3 + 5) = (-1; 2; 8) \] Bước 2: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = (1; 0; 3) \cdot (-1; 2; 8) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 8 = -1 + 0 + 24 = 23 \] Vậy tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ bằng 23. Đáp án đúng là: B. 23. Câu 13. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến điểm O và B trong hình hộp ABCD.EFGH. - Điểm O là trung điểm của đoạn thẳng CH, do đó: \[ \overrightarrow{CO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CH} \] - Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{CH} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FH} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{CH} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{BC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{CO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{BC}) \] - Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CO} \] Thay $\overrightarrow{CO}$ vào: \[ \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{BC}) \] \[ \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CF} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{BO} = \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CF} \] - Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{BF} - \overrightarrow{BC} \] Thay vào: \[ \overrightarrow{BO} = \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BF} - \overrightarrow{BC}) \] \[ \overrightarrow{BO} = \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BF} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BF} \] - Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AO} \] Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CO} \] \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{BC}) \] \[ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CF} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CF} \] Thay vào: \[ \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BF} \] Như vậy, ta có: \[ \overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BF} \] Vậy khẳng định đúng là: C. $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BF}$ Câu 14. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm A từ tọa độ của điểm B. Tọa độ của điểm A là $(-1; 2; -3)$ và tọa độ của điểm B là $(2; -1; 0)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] Thay tọa độ của điểm A và điểm B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1), -1 - 2, 0 - (-3)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (2 + 1, -1 - 2, 0 + 3) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3, -3, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(3, -3, 3)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $(3, -3, 3)$ Câu 15. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-2; 4]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị: - Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 3 \). 2. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các biên của đoạn: - Tại \( x = -2 \), giá trị của hàm số là \( f(-2) = -2 \). - Tại \( x = 4 \), giá trị của hàm số là \( f(4) = 2 \). 3. So sánh các giá trị đã tìm được: - Giá trị tại điểm cực đại: \( f(1) = 3 \). - Giá trị tại biên \( x = -2 \): \( f(-2) = -2 \). - Giá trị tại biên \( x = 4 \): \( f(4) = 2 \). Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 3. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-2; 4]\) là 3, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp án đúng là: D. 3. Câu 16. Trước tiên, ta xét từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. A. \( |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| \) - Vì ABCD là hình lập phương, nên AB và CD là hai cạnh bằng nhau. Do đó, độ dài của hai vectơ này sẽ bằng nhau: \[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| \] B. \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) - Mặc dù độ dài của hai vectơ này bằng nhau, nhưng chúng không cùng hướng. \(\overrightarrow{AB}\) đi từ A đến B, trong khi \(\overrightarrow{CD}\) đi từ C đến D. Do đó, hai vectơ này không bằng nhau: \[ \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD} \] C. \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \) - Trong hình lập phương, AC là đường chéo của mặt đáy ABCD. Ta có thể viết vectơ \(\overrightarrow{AC}\) như tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] D. \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \) - Trong hình lập phương, AC' là đường chéo từ đỉnh A đến đỉnh C' của khối lập phương. Ta có thể viết vectơ \(\overrightarrow{AC'}\) như tổng của ba vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), và \(\overrightarrow{AA'}\): \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Từ các phân tích trên, ta thấy rằng mệnh đề B là sai vì \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) không cùng hướng. Đáp án: B. \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin từ đồ thị của hàm số \( y = \frac{x - b}{cx + d} \). 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị: - Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 1) \). Điều này cho thấy khi \( x = 0 \), \( y = 1 \). Do đó: \[ y = \frac{0 - b}{c \cdot 0 + d} = 1 \implies \frac{-b}{d} = 1 \implies -b = d \implies d = -b \] - Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại điểm \( (2, 0) \). Điều này cho thấy khi \( x = 2 \), \( y = 0 \). Do đó: \[ y = \frac{2 - b}{c \cdot 2 + d} = 0 \implies 2 - b = 0 \implies b = 2 \] - Từ \( d = -b \) và \( b = 2 \), ta có: \[ d = -2 \] 2. Xác định giá trị của \( c \): - Ta biết rằng đường thẳng \( y = \frac{x - b}{cx + d} \) có tiệm cận đứng là \( x = -\frac{d}{c} \). Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Do đó: \[ -\frac{d}{c} = -1 \implies \frac{d}{c} = 1 \implies c = d \] - Vì \( d = -2 \), ta có: \[ c = -2 \] 3. Tính giá trị của biểu thức \( P = b^2 + c^2 + d^2 \): - Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức \( P \): \[ P = b^2 + c^2 + d^2 = 2^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 4 = 12 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( 12 \).