giuppppppop

Câu 1. Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' \) ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < 1 \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \] - Khi \( 1 < x < 3 \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \] - Khi \( x > 3 \), chọn \( x = 4 \): \[ y'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \] Từ đó, ta thấy: - \( y' \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = 1 \), do đó \( x = 1 \) là điểm cực đại. - \( y' \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = 3 \), do đó \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị cực đại của hàm số tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) là 5, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp số: Giá trị cực đại của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 1 \). Câu 2. Để tính $|\overrightarrow{n}|$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: - Gọi $\overrightarrow{a} = (10, 1, -4)$ và $\overrightarrow{b} = (2, -6, -7)$. - Tích có hướng $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{n} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 1 & -4 \\ 2 & -6 & -7 \end{array} \right| \] - Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i} \left(1 \cdot (-7) - (-4) \cdot (-6)\right) - \mathbf{j} \left(10 \cdot (-7) - (-4) \cdot 2\right) + \mathbf{k} \left(10 \cdot (-6) - 1 \cdot 2\right) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i} (-7 - 24) - \mathbf{j} (-70 + 8) + \mathbf{k} (-60 - 2) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i} (-31) - \mathbf{j} (-62) + \mathbf{k} (-62) \] \[ \overrightarrow{n} = (-31, 62, -62) \] 2. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{n} = (-31, 62, -62)$ được tính theo công thức: \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-31)^2 + 62^2 + (-62)^2} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{961 + 3844 + 3844} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{8649} \] \[ |\overrightarrow{n}| = 93 \] Vậy, $|\overrightarrow{n}| = 93$. Câu 3. Để tính tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Trong đó, \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), và \( C(x_C, y_C, z_C) \). Áp dụng vào bài toán, ta có: - \( A(1, 1, 2) \) - \( B(3, -1, 1) \) - \( C(2, 3, -6) \) Tọa độ của trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{1 + 3 + 2}{3}, \frac{1 + (-1) + 3}{3}, \frac{2 + 1 + (-6)}{3}\right) \] Ta thực hiện các phép tính: \[ G\left(\frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{-3}{3}\right) \] \[ G(2, 1, -1) \] Vậy tọa độ của trọng tâm \( G \) là \( (2, 1, -1) \). Cuối cùng, ta tính tổng \( a + b + c \): \[ a + b + c = 2 + 1 + (-1) = 2 \] Đáp số: \( a + b + c = 2 \) Câu 4. Gọi chiều dài mảnh vườn là $x$ (m), chiều rộng mảnh vườn là $y$ (m), $(x > 0, y > 0)$ Diện tích mảnh vườn là $200~m^2$ nên ta có: $x \times y = 200$ Suy ra $y = \frac{200}{x}$ Chiều dài đoạn lưới là: $x + 2y$ Để mua lưới cần số tiền là: $24 \times (x + 2y)$ (ngàn đồng) Thay $y = \frac{200}{x}$ vào biểu thức trên ta được: $24 \times (x + 2y) = 24 \times (x + \frac{400}{x})$ Ta thấy $x > 0$, do đó để $24 \times (x + \frac{400}{x})$ nhỏ nhất thì $(x + \frac{400}{x})$ nhỏ nhất. Xét hàm số $f(x) = x + \frac{400}{x}$, $x > 0$ $f'(x) = 1 - \frac{400}{x^2}$ $f'(x) = 0$ $\Rightarrow 1 - \frac{400}{x^2} = 0$ $\Rightarrow x^2 = 400$ $\Rightarrow x = 20$ (vì $x > 0$) Lập bảng biến thiên: \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline x & $(0; 20)$ & 20 & $(20; +\infty)$ \\ \hline $f'(x)$ & - & 0 & + \\ \hline f(x) & Decreasing & Minimum & Increasing \\ \hline \end{tabular} Từ bảng biến thiên ta thấy $f(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $f(20) = 40$ Vậy để tạo mảnh vườn $200~m^2$ ông A phải bỏ ra số tiền thấp nhất là: $24 \times 40 = 960$ (ngàn đồng) Đáp số: 960 ngàn đồng Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường parabol và đường thẳng. 2. Tìm điểm M trên đường parabol sao cho đoạn thẳng MH ngắn nhất. 3. Tính độ dài đoạn thẳng MH. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol và đường thẳng - Đường parabol có đỉnh $I(0;4)$ và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x_1 = -2$ và $x_2 = 2$. Phương trình của đường parabol có dạng: \[ y = a(x - 0)^2 + 4 \] Thay điểm $(2, 0)$ vào phương trình: \[ 0 = a(2)^2 + 4 \Rightarrow 0 = 4a + 4 \Rightarrow a = -1 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ y = -x^2 + 4 \] - Đường thẳng đi qua điểm $B\left(\frac{425}{48}, 0\right)$ và $N\left(0, \frac{425}{64}\right)$. Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y = mx + n \] Thay điểm $N(0, \frac{425}{64})$ vào phương trình: \[ \frac{425}{64} = m \cdot 0 + n \Rightarrow n = \frac{425}{64} \] Thay điểm $B\left(\frac{425}{48}, 0\right)$ vào phương trình: \[ 0 = m \cdot \frac{425}{48} + \frac{425}{64} \Rightarrow m \cdot \frac{425}{48} = -\frac{425}{64} \Rightarrow m = -\frac{48}{64} = -\frac{3}{4} \] Vậy phương trình của đường thẳng là: \[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{425}{64} \] Bước 2: Tìm điểm M trên đường parabol sao cho đoạn thẳng MH ngắn nhất Để đoạn thẳng MH ngắn nhất, đoạn thẳng MH phải vuông góc với đường thẳng $BC$. Gọi M có tọa độ $(x_0, y_0)$ trên đường parabol $y = -x^2 + 4$. Khi đó: \[ y_0 = -x_0^2 + 4 \] Phương trình tiếp tuyến của đường parabol tại điểm M là: \[ y' = -2x_0 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: \[ y - y_0 = -2x_0(x - x_0) \] \[ y - (-x_0^2 + 4) = -2x_0(x - x_0) \] \[ y + x_0^2 - 4 = -2x_0x + 2x_0^2 \] \[ y = -2x_0x + x_0^2 + 4 \] Để đoạn thẳng MH vuông góc với đường thẳng $BC$, hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng $\frac{4}{3}$ (vì hệ số góc của đường thẳng $BC$ là $-\frac{3}{4}$): \[ -2x_0 = \frac{4}{3} \Rightarrow x_0 = -\frac{2}{3} \] Thay $x_0 = -\frac{2}{3}$ vào phương trình của đường parabol: \[ y_0 = -\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 = -\frac{4}{9} + 4 = \frac{32}{9} \] Vậy tọa độ của điểm M là: \[ M\left(-\frac{2}{3}, \frac{32}{9}\right) \] Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng MH Điểm H nằm trên đường thẳng $BC$, thay $x = -\frac{2}{3}$ vào phương trình của đường thẳng $BC$: \[ y = -\frac{3}{4}\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{425}{64} = \frac{1}{2} + \frac{425}{64} = \frac{32}{64} + \frac{425}{64} = \frac{457}{64} \] Vậy tọa độ của điểm H là: \[ H\left(-\frac{2}{3}, \frac{457}{64}\right) \] Tính độ dài đoạn thẳng MH: \[ MH = \sqrt{\left(-\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right)\right)^2 + \left(\frac{457}{64} - \frac{32}{9}\right)^2} \] \[ MH = \sqrt{0 + \left(\frac{457}{64} - \frac{32}{9}\right)^2} \] \[ MH = \left|\frac{457}{64} - \frac{32}{9}\right| \] \[ MH = \left|\frac{457 \cdot 9 - 32 \cdot 64}{64 \cdot 9}\right| \] \[ MH = \left|\frac{4113 - 2048}{576}\right| \] \[ MH = \left|\frac{2065}{576}\right| \] \[ MH = \frac{2065}{576} \approx 3.585 \text{ mét} \] Vậy chiều dài của cây cầu là khoảng 3.585 mét.