giúp mik với

Câu 1. Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Ta có: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -t^2 + 12t \] 2. Tìm cực đại của hàm số vận tốc: Để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \(v(t)\). Ta tính đạo hàm của \(v(t)\): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-t^2 + 12t) = -2t + 12 \] Đặt \(v'(t) = 0\) để tìm điểm cực trị: \[ -2t + 12 = 0 \implies t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \(v(t)\): \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(-2t + 12) = -2 \] Vì \(v''(t) < 0\), nên \(t = 6\) là điểm cực đại của hàm số \(v(t)\). 4. Tính giá trị của vận tốc tại điểm cực đại: Thay \(t = 6\) vào công thức của vận tốc: \[ v(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 = -36 + 72 = 36 \text{ m/s} \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra giá trị của vận tốc tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 9 giây: \[ v(0) = -(0)^2 + 12 \cdot 0 = 0 \text{ m/s} \] \[ v(9) = -(9)^2 + 12 \cdot 9 = -81 + 108 = 27 \text{ m/s} \] So sánh các giá trị trên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của vận tốc là 36 m/s, đạt được khi \(t = 6\) giây. Kết luận: Trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là 36 m/s, đạt được khi \(t = 6\) giây. Câu 2. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng và trung điểm của mỗi khoảng: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Khoảng} & \text{Trung điểm} & \text{Số quả mít} \\ \hline [4;6) & 5 & 6 \\ [6;8) & 7 & 12 \\ [8;10) & 9 & 19 \\ [10;12) & 11 & 9 \\ [12;14) & 13 & 4 \\ \end{array} \] - Tính tổng số quả mít: \[ n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(5 \times 6) + (7 \times 12) + (9 \times 19) + (11 \times 9) + (13 \times 4)}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{30 + 84 + 171 + 99 + 52}{50} = \frac{436}{50} = 8.72 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung điểm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Trung điểm} & \text{Hiệu} & \text{Bình phương hiệu} & \text{Tần số} \\ \hline 5 & 5 - 8.72 = -3.72 & (-3.72)^2 = 13.8384 & 6 \\ 7 & 7 - 8.72 = -1.72 & (-1.72)^2 = 2.9584 & 12 \\ 9 & 9 - 8.72 = 0.28 & (0.28)^2 = 0.0784 & 19 \\ 11 & 11 - 8.72 = 2.28 & (2.28)^2 = 5.1984 & 9 \\ 13 & 13 - 8.72 = 4.28 & (4.28)^2 = 18.3184 & 4 \\ \end{array} \] - Tính tổng của các bình phương hiệu nhân với tần số: \[ \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = (6 \times 13.8384) + (12 \times 2.9584) + (19 \times 0.0784) + (9 \times 5.1984) + (4 \times 18.3184) \] \[ = 83.0304 + 35.5008 + 1.4896 + 46.7856 + 73.2736 = 240.08 \] - Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{240.08}{50} = 4.8016 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(4.80\) (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 3. Để xác định chi phí thấp nhất để xây bể chứa nước, chúng ta cần tính diện tích toàn phần của bể và sau đó nhân với chi phí xây dựng. Bước 1: Xác định các kích thước của bể - Gọi chiều rộng của đáy bể là \( w \) (m). - Chiều dài của đáy bể là \( 2w \) (m). - Chiều cao của bể là \( h \) (m). Bước 2: Xác định thể tích của bể Thể tích của bể là: \[ V = w \times 2w \times h = 2w^2h \] Theo đề bài, thể tích của bể là 200 m³: \[ 2w^2h = 200 \] \[ w^2h = 100 \] Bước 3: Xác định diện tích toàn phần của bể Diện tích toàn phần của bể (không có nắp) là: \[ S = 2(w \times h + 2w \times h) + 2w \times 2w \] \[ S = 2(wh + 2wh) + 4w^2 \] \[ S = 2(3wh) + 4w^2 \] \[ S = 6wh + 4w^2 \] Bước 4: Thay \( h \) từ phương trình thể tích vào diện tích toàn phần Từ \( w^2h = 100 \), ta có: \[ h = \frac{100}{w^2} \] Thay vào diện tích toàn phần: \[ S = 6w \left(\frac{100}{w^2}\right) + 4w^2 \] \[ S = \frac{600}{w} + 4w^2 \] Bước 5: Tìm giá trị \( w \) để diện tích toàn phần \( S \) nhỏ nhất Để tìm giá trị \( w \) tối ưu, ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( w \): \[ \frac{dS}{dw} = -\frac{600}{w^2} + 8w \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ -\frac{600}{w^2} + 8w = 0 \] \[ 8w = \frac{600}{w^2} \] \[ 8w^3 = 600 \] \[ w^3 = 75 \] \[ w = \sqrt[3]{75} \approx 4.217 \text{ (m)} \] Bước 6: Tính diện tích toàn phần khi \( w = 4.217 \) \[ h = \frac{100}{(4.217)^2} \approx 5.623 \text{ (m)} \] \[ S = 6 \times 4.217 \times 5.623 + 4 \times (4.217)^2 \] \[ S \approx 141.421 + 71.429 \] \[ S \approx 212.85 \text{ (m²)} \] Bước 7: Tính chi phí xây dựng Chi phí xây dựng là: \[ \text{Chi phí} = 212.85 \times 350 \text{ (nghìn đồng)} \] \[ \text{Chi phí} \approx 74497.5 \text{ (nghìn đồng)} \] \[ \text{Chi phí} \approx 74.5 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là khoảng 74.5 triệu đồng. Câu 4. Để tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(x) = -x^2 + 30x + 6 \) trong khoảng \( 0 \leq x \leq 30 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( N(x) \): \[ N'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 30x + 6) = -2x + 30 \] Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ N'(x) = 0 \] \[ -2x + 30 = 0 \] \[ 2x = 30 \] \[ x = 15 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị này: - Ta tính đạo hàm thứ hai của hàm số \( N(x) \): \[ N''(x) = \frac{d}{dx}(-2x + 30) = -2 \] - Vì \( N''(x) = -2 < 0 \), nên \( x = 15 \) là điểm cực đại của hàm số \( N(x) \). Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại \( x = 15 \): \[ N(15) = -(15)^2 + 30(15) + 6 = -225 + 450 + 6 = 231 \] Bước 5: So sánh giá trị của hàm số tại các biên của khoảng \( [0, 30] \): - Tại \( x = 0 \): \[ N(0) = -(0)^2 + 30(0) + 6 = 6 \] - Tại \( x = 30 \): \[ N(30) = -(30)^2 + 30(30) + 6 = -900 + 900 + 6 = 6 \] Từ các kết quả trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số \( N(x) \) trong khoảng \( 0 \leq x \leq 30 \) là 231, đạt được khi \( x = 15 \). Vậy số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo là 231 lô hàng, đạt được khi chi số tiền quảng cáo là 15 triệu đồng. Đáp số: 231 lô hàng. Câu 5. Để tính diện tích lớn nhất của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính \( R = 6 \, \text{cm} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan: - Gọi \( x \) là chiều dài của một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn. - Chiều rộng của hình chữ nhật là \( y \). 2. Liên hệ giữa các đại lượng: - Vì hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn, nên ta có: \[ x^2 + y^2 = (2R)^2 = 12^2 = 144 \] - Do đó: \[ y = \sqrt{144 - x^2} \] 3. Diện tích của hình chữ nhật: - Diện tích \( S \) của hình chữ nhật là: \[ S = x \cdot y = x \cdot \sqrt{144 - x^2} \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích \( S \): - Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta sử dụng đạo hàm. Gọi \( f(x) = x \sqrt{144 - x^2} \). - Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \sqrt{144 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{144 - x^2}} = \sqrt{144 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{144 - x^2}} \] \[ f'(x) = \frac{(144 - x^2) - x^2}{\sqrt{144 - x^2}} = \frac{144 - 2x^2}{\sqrt{144 - x^2}} \] - Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{144 - 2x^2}{\sqrt{144 - x^2}} = 0 \implies 144 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = 72 \implies x = 6\sqrt{2} \] 5. Kiểm tra điều kiện để đảm bảo \( x \) nằm trong khoảng hợp lý: - \( x = 6\sqrt{2} \) nằm trong khoảng \( 0 < x < 12 \). 6. Tính diện tích lớn nhất: - Khi \( x = 6\sqrt{2} \), ta có: \[ y = \sqrt{144 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] - Diện tích lớn nhất \( S_{\max} \) là: \[ S_{\max} = x \cdot y = 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 72 \, \text{cm}^2 \] Đáp số: Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là \( 72 \, \text{cm}^2 \). Câu 6. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) rồi so sánh chúng. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3, -x - 2, 1 + 1) = (-4, -x-2, 2) \] 2. Tính vectơ \(AC\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (7 - 3, -1 - 2, y + 1) = (4, -3, y+1) \] 3. Để hai vectơ cùng phương, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \] \[ (-4, -x-2, 2) = k \cdot (4, -3, y+1) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ -4 = 4k \quad \text{(1)} \] \[ -x-2 = -3k \quad \text{(2)} \] \[ 2 = k(y+1) \quad \text{(3)} \] Giải phương trình (1): \[ -4 = 4k \implies k = -1 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình (2): \[ -x-2 = -3(-1) \implies -x-2 = 3 \implies -x = 5 \implies x = -5 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình (3): \[ 2 = -1(y+1) \implies 2 = -y-1 \implies y = -3 \] Vậy giá trị của biểu thức \(x + y\) là: \[ x + y = -5 + (-3) = -8 \] Đáp số: \(x + y = -8\).