Giúp minhg

Câu 106. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trọng số trung tâm của mỗi nhóm. - Nhân trọng số trung tâm với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng tần số. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trọng số trung tâm và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng tần số. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu | Cự ly (m) | Trọng số trung tâm | Tần số | Trọng số trung tâm × Tần số | |-----------|---------------------|--------|-----------------------------| | [19; 19,5) | 19,25 | 13 | 19,25 × 13 = 250,25 | | [19,5; 20) | 19,75 | 45 | 19,75 × 45 = 888,75 | | [20; 20,5) | 20,25 | 24 | 20,25 × 24 = 486 | | [20,5; 21) | 20,75 | 12 | 20,75 × 12 = 249 | | [21; 21,5) | 21,25 | 6 | 21,25 × 6 = 127,5 | Tổng tần số: 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100 Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{250,25 + 888,75 + 486 + 249 + 127,5}{100} = \frac{2001,5}{100} = 20,015 \] Bước 2: Tính phương sai | Cự ly (m) | Trọng số trung tâm | Tần số | (Trọng số trung tâm - Trung bình cộng)² | (Trọng số trung tâm - Trung bình cộng)² × Tần số | |-----------|---------------------|--------|-----------------------------------------|-------------------------------------------------| | [19; 19,5) | 19,25 | 13 | (19,25 - 20,015)² = 0,585625 | 0,585625 × 13 = 7,613125 | | [19,5; 20) | 19,75 | 45 | (19,75 - 20,015)² = 0,068025 | 0,068025 × 45 = 3,061125 | | [20; 20,5) | 20,25 | 24 | (20,25 - 20,015)² = 0,055225 | 0,055225 × 24 = 1,3254 | | [20,5; 21) | 20,75 | 12 | (20,75 - 20,015)² = 0,552025 | 0,552025 × 12 = 6,6243 | | [21; 21,5) | 21,25 | 6 | (21,25 - 20,015)² = 1,500625 | 1,500625 × 6 = 9,00375 | Phương sai: \[ S^2 = \frac{7,613125 + 3,061125 + 1,3254 + 6,6243 + 9,00375}{100} = \frac{27,62765}{100} = 0,2762765 \approx 0,28 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,28. Đáp án đúng là: B. 0,28. Câu 107. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu đã cho. Dãy số liệu: 42, 43,4, 43,4, 46,5, 46,7, 46,8, 47,5, 48,1, 48,4, 50,8, 52,1, 52,7, 53,9, 54,8, 55,6, 57,5, 59,6, 60,3, 61,1 Giá trị nhỏ nhất là 42. Giá trị lớn nhất là 61,1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \[ 61,1 - 42 = 19,1 \] Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 19,1. Đáp án đúng là: B. 19,1 Câu 108. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Đầu tiên, chúng ta cần tính tổng của tất cả các giá trị thời gian giải rubik. - Sau đó, chia tổng này cho số lượng lần giải để tìm trung bình cộng. 2. Tính phương sai: - Tính hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng. -平方每个偏差，然后求这些平方偏差的平均值。 3. 计算标准差： - 方差的平方根即为标准差。 我们先将数据分组，并计算每组的频率和组中值： | 组别 | 频率 | 组中值 | |------|------|--------| | 8-10 | 3 | 9 | | 10-12 | 7 | 11 | | 12-14 | 8 | 13 | | 14-16 | 4 | 15 | | 16-18 | 3 | 17 | 接下来，我们计算总和和平均值： \[ \text{总和} = 3 \times 9 + 7 \times 11 + 8 \times 13 + 4 \times 15 + 3 \times 17 = 27 + 77 + 104 + 60 + 51 = 320 \] \[ \text{平均值} = \frac{320}{25} = 12.8 \] 然后，我们计算方差： \[ \text{方差} = \frac{1}{25} \left[ 3(9 - 12.8)^2 + 7(11 - 12.8)^2 + 8(13 - 12.8)^2 + 4(15 - 12.8)^2 + 3(17 - 12.8)^2 \right] \] \[ = \frac{1}{25} \left[ 3(-3.8)^2 + 7(-1.8)^2 + 8(0.2)^2 + 4(2.2)^2 + 3(4.2)^2 \right] \] \[ = \frac{1}{25} \left[ 3 \times 14.44 + 7 \times 3.24 + 8 \times 0.04 + 4 \times 4.84 + 3 \times 17.64 \right] \] \[ = \frac{1}{25} \left[ 43.32 + 22.68 + 0.32 + 19.36 + 52.92 \right] \] \[ = \frac{1}{25} \times 138.6 = 5.544 \] 最后，我们计算标准差： \[ \text{标准差} = \sqrt{5.544} \approx 2.35 \] 因此，最接近的标准差是选项C. 2.44。 Câu 109 Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \), ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu và chỉ nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) trên toàn bộ khoảng \( K \). Điều này có thể viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: - Lựa chọn A: \( F'(x) = -f(x), \quad \forall x \in K \). Điều này không đúng vì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải là \( -f(x) \). - Lựa chọn B: \( f'(x) = F(x), \quad \forall x \in K \). Điều này không đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \) theo định nghĩa nguyên hàm. - Lựa chọn C: \( F(x) = f(x), \quad \forall x \in K \). Điều này không đúng vì \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), tức là đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải \( F(x) \) bằng \( f(x) \). - Lựa chọn D: \( f'(x) = -F(x), \quad \forall x \in K \). Điều này không đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \) theo định nghĩa nguyên hàm. Do đó, lựa chọn đúng là: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 110. Để tính $\int x^2 dx$, chúng ta áp dụng công thức cơ bản của nguyên hàm: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{với } n \neq -1 \] Trong trường hợp này, \( n = 2 \). Do đó: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{1}{3}x^3 + C \] Câu 111. Để xác định hàm số nào không là nguyên hàm của \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho xem có bằng \( f(x) \) hay không. Ta có: \[ f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \] Bây giờ, ta sẽ tính đạo hàm của từng hàm số \( F_i(x) \): 1. \( F_1(x) = \frac{3\sqrt{x^4}}{4} + 1 \) \[ F_1(x) = \frac{3x^2}{4} + 1 \] Tính đạo hàm: \[ F'_1(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x^2}{4} + 1\right) = \frac{3}{4} \cdot 2x = \frac{3x}{2} \] Đạo hàm này không bằng \( x^{\frac{1}{3}} \). 2. \( F_5(x) = \frac{3x\sqrt{x}}{4} + 3 \) \[ F_5(x) = \frac{3x^{1.5}}{4} + 3 \] Tính đạo hàm: \[ F'_5(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x^{1.5}}{4} + 3\right) = \frac{3}{4} \cdot 1.5x^{0.5} = \frac{9x^{0.5}}{8} \] Đạo hàm này không bằng \( x^{\frac{1}{3}} \). 3. \( F_4(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{3}} + 4 \) \[ F_4(x) = \frac{3}{4}x + 4 \] Tính đạo hàm: \[ F'_4(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}x + 4\right) = \frac{3}{4} \] Đạo hàm này không bằng \( x^{\frac{1}{3}} \). 4. \( F_2(x) = \frac{34\sqrt{x^2}}{4} + 2 \) \[ F_2(x) = \frac{34x}{4} + 2 = \frac{17x}{2} + 2 \] Tính đạo hàm: \[ F'_2(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{17x}{2} + 2\right) = \frac{17}{2} \] Đạo hàm này không bằng \( x^{\frac{1}{3}} \). Như vậy, tất cả các hàm số \( F_1(x), F_5(x), F_4(x), F_2(x) \) đều không là nguyên hàm của \( f(x) = \sqrt[3]{x} \). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có \( F_4(x) \) là không đúng theo yêu cầu của đề bài. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~F_4(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{3}{3}}+4. \] Câu 112 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^2 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong tổng. 1. Tìm nguyên hàm của \( x^4 \): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_1 = \frac{x^5}{5} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = \frac{x^3}{3} + C_2 \] 3. Kết hợp hai kết quả trên: \[ \int (x^4 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \] (Trong đó \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân). Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^2 \) là: \[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + C \] Câu 113. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 4 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 4 \): \[ \int 4 \, dx = 4x \] Bước 3: Cộng lại các kết quả trên và thêm hằng số \( C \): \[ \int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C \] Do đó, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 4 \) là: \[ x^2 + 4x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~x^2 + 4x + C} \] Câu 114 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x + 6x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. 1. Tìm nguyên hàm của \( \cos x \): \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( 6x \): \[ \int 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 3x^2 + C_2 \] Kết hợp hai kết quả trên lại, ta có: \[ \int (\cos x + 6x) \, dx = \sin x + 3x^2 + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x + 6x \) là: \[ \sin x + 3x^2 + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\sin x + 3x^2 + C \] Câu 115 Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + 2 \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Nguyên hàm của hằng số 2 là \( 2x \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2 \, dx = e^x + 2x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C \] Đáp án: B. Câu 116. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích hàm số: Hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) có thể được viết lại thành tổng của hai hàm số đơn giản hơn: \[ f(x) = x^2 + 2x^{-2} \] 2. Tìm nguyên hàm từng phần: - Nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( 2x^{-2} \): \[ \int 2x^{-2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] 3. Gộp kết quả: Kết hợp hai nguyên hàm trên, ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 2x^{-2} \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \]