toán lớp 12

Câu 38. Độ dài của vectơ $\overrightarrow a = (1; 2; -2)$ được tính theo công thức: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \] Ta thực hiện các phép tính bên trong căn bậc hai: \[ 1^2 = 1 \] \[ 2^2 = 4 \] \[ (-2)^2 = 4 \] Do đó: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow a$ là 3. Đáp án đúng là: C. $|\overrightarrow a| = 3$. Câu 39. Để tính giá trị của \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz. Công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] Trong đó: - \(\overrightarrow{a} = (-3; 1; 2)\) - \(\overrightarrow{b} = (0; -4; 5)\) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3) \cdot 0 + 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 5 \] Tính từng thành phần: \[ (-3) \cdot 0 = 0 \] \[ 1 \cdot (-4) = -4 \] \[ 2 \cdot 5 = 10 \] Cộng lại các kết quả: \[ 0 + (-4) + 10 = 6 \] Vậy giá trị của \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) là 6. Đáp án đúng là: C. 6. Câu 40. Để tính giá trị của \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức nhân hai véc-tơ trong không gian Oxyz. \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] Trong đó: - \(\overrightarrow{a} = (3; 1; 2)\) - \(\overrightarrow{b} = (1; -2; 5)\) Áp dụng công thức trên: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 5 \] Tính từng phần: \[ 3 \cdot 1 = 3 \] \[ 1 \cdot (-2) = -2 \] \[ 2 \cdot 5 = 10 \] Cộng lại: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 + (-2) + 10 = 3 - 2 + 10 = 11 \] Vậy giá trị của \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) là 11. Đáp án đúng là: C. 11. Câu 41: Để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, ta cần: - AB = AC - AB vuông góc với AC Bước 1: Tính độ dài AB và AC - Độ dài AB: \[ AB = \sqrt{(2 - 3)^2 + (1 - 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] - Độ dài AC: \[ AC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1} \] Bước 2: Đặt điều kiện AB = AC \[ \sqrt{2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1} \] \[ 2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1 \] \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1 \quad \text{(1)} \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện AB vuông góc với AC - Vector AB: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 3, 1 - 1, -1 - 0) = (-1, 0, -1) \] - Vector AC: \[ \overrightarrow{AC} = (x - 3, y - 1, -1 - 0) = (x - 3, y - 1, -1) \] - Điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] \[ (-1)(x - 3) + 0(y - 1) + (-1)(-1) = 0 \] \[ -x + 3 + 1 = 0 \] \[ -x + 4 = 0 \] \[ x = 4 \] Bước 4: Thay \( x = 4 \) vào phương trình (1) \[ (4 - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ 1 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ (y - 1)^2 = 0 \] \[ y - 1 = 0 \] \[ y = 1 \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại vì có thể có nhiều nghiệm khác. Ta thử thay \( x = 4 \) vào phương trình ban đầu: \[ (4 - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ 1 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ (y - 1)^2 = 0 \] \[ y - 1 = \pm \sqrt{0} \] \[ y - 1 = \pm 0 \] \[ y = 1 \pm 0 \] \[ y = 1 \] Do đó, hai nghiệm là: \[ (4, 1 + \sqrt{2}, -1) \quad \text{và} \quad (4, 1 - \sqrt{2}, -1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(4;1+\sqrt2;-1);(4;1-\sqrt2;-1). \] Câu 42: Để tìm tọa độ điểm B sao cho A đối xứng với B qua M, ta áp dụng công thức trung điểm. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, do đó ta có: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và M vào công thức trên: \[ (2, 1, -2) = \left( \frac{-1 + x_B}{2}, \frac{5 + y_B}{2}, \frac{3 + z_B}{2} \right) \] Ta giải từng phương trình một: 1. Với tọa độ x: \[ 2 = \frac{-1 + x_B}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 4 = -1 + x_B \] Do đó: \[ x_B = 4 + 1 = 5 \] 2. Với tọa độ y: \[ 1 = \frac{5 + y_B}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2 = 5 + y_B \] Do đó: \[ y_B = 2 - 5 = -3 \] 3. Với tọa độ z: \[ -2 = \frac{3 + z_B}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ -4 = 3 + z_B \] Do đó: \[ z_B = -4 - 3 = -7 \] Từ đó, tọa độ của điểm B là \( B(5, -3, -7) \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~B(5, -3, -7) \] Câu 1: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số $y = f(x) = x + 2 + \frac{1}{x - 1}$ có mẫu số là $x - 1$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0, tức là $x - 1 \neq 0$. Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( y - (x + 2) \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( x + 2 + \frac{1}{x - 1} - (x + 2) \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x - 1} = 0. \] Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = x + 2$. c) Hàm số nghịch biến trên tập xác định: Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2}. \] Để hàm số nghịch biến, ta cần $f'(x) < 0$: \[ 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} < 0 \implies \frac{1}{(x - 1)^2} > 1 \implies (x - 1)^2 < 1 \implies -1 < x - 1 < 1 \implies 0 < x < 2. \] Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$. d) Hàm số có hai điểm cực trị là A, B. Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến đường thẳng AB là $\frac{1}{\sqrt{5}}$: Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = 0 \implies \frac{1}{(x - 1)^2} = 1 \implies (x - 1)^2 = 1 \implies x - 1 = \pm 1 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = 0. \] Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ f(2) = 2 + 2 + \frac{1}{2 - 1} = 5, \] \[ f(0) = 0 + 2 + \frac{1}{0 - 1} = 1. \] Vậy hai điểm cực trị là $A(2, 5)$ và $B(0, 1)$. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B: \[ y - 1 = \frac{5 - 1}{2 - 0}(x - 0) \implies y - 1 = 2x \implies y = 2x + 1. \] Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến đường thẳng $y = 2x + 1$: \[ d = \frac{|2 \cdot 0 - 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \] Đáp số: a) $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ b) Tiệm cận xiên: $y = x + 2$ c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$ d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến đường thẳng AB là $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Câu 2. a) Xét bảng biến thiên của hàm số bậc ba $y=f(x)$: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 \\ \hline y' & + & 0 & - & 0 \\ \hline y & \nearrow & f(-2) & \searrow & f(0) \\ \hline \end{array} \] Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2, 0)$. Vậy mệnh đề này là Đúng. b) Xét hàm số $y = x^3 - 3x + 1$. Ta có: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Đặt $y' = 0$, ta có: \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 \] Ta kiểm tra dấu của $y'$ ở các khoảng $( -\infty, -1 )$, $( -1, 1 )$, và $( 1, +\infty )$: - Khi $x < -1$: $y' > 0$ - Khi $-1 < x < 1$: $y' < 0$ - Khi $x > 1$: $y' > 0$ Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và cực tiểu tại $x = 1$. Vậy mệnh đề này là Đúng. c) Xét hàm số $y = \frac{x^2 - x + 2}{x - 2}$. Ta thực hiện phép chia: \[ \frac{x^2 - x + 2}{x - 2} = x + 1 + \frac{4}{x - 2} \] Khi $x \to \infty$ hoặc $x \to -\infty$, $\frac{4}{x - 2} \to 0$. Do đó, đường thẳng $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Vậy mệnh đề này là Đúng. d) Xét hàm số $y = \frac{ax + b}{x + c}$ có đồ thị như hình vẽ. Ta thấy rằng: - Khi $x \to -c$, $y \to \infty$ hoặc $-\infty$ (tiệm cận đứng). - Khi $x \to \infty$ hoặc $x \to -\infty$, $y \to a$ (tiệm cận ngang). Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng là $x = -1$ và tiệm cận ngang là $y = 2$. Do đó, $c = 1$ và $a = 2$. Thay vào hàm số, ta có: \[ y = \frac{2x + b}{x + 1} \] Khi $x = 0$, $y = 1$. Thay vào, ta có: \[ 1 = \frac{2 \cdot 0 + b}{0 + 1} \implies b = 1 \] Vậy hàm số là $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$. Mệnh đề này là Đúng. Đáp số: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng