Câu 18.
Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3;2;1) \) trên trục \( Oy \) là điểm có tọa độ \( (0;2;0) \).
Lý do:
- Trên trục \( Oy \), tọa độ \( x \) và \( z \) đều bằng 0.
- Tọa độ \( y \) giữ nguyên.
Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3;2;1) \) trên trục \( Oy \) là điểm \( (0;2;0) \).
Đáp án đúng là: \( C.~(0;2;0) \).
Câu 19:
Để xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \( C \) trên trục \( Ox \), ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ của điểm \( C \):
- Ta có \(\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}\).
- Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm \( C \) là \( (2, 0, -1) \).
2. Hình chiếu vuông góc của điểm \( C \) trên trục \( Ox \):
- Trên trục \( Ox \), tọa độ \( y \) và \( z \) đều bằng 0.
- Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( C \) trên trục \( Ox \) sẽ có tọa độ \( (2, 0, 0) \).
Vậy, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \( C \) trên trục \( Ox \) là \( (2, 0, 0) \).
Đáp án đúng là: \( C.~(2;0;0) \).
Câu 20:
Để tìm vectơ $\overrightarrow{AC'}$, ta cần xác định đường đi từ điểm A đến điểm C' trong hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta sẽ sử dụng các vectơ đã cho để thực hiện phép cộng vectơ.
Ta có:
- Vectơ $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'.
- Vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh D.
- Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh B.
Khi đó, ta có thể viết:
\[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'C'} \]
Trong đó, $\overrightarrow{A'C'}$ là vectơ từ đỉnh A' đến đỉnh C'. Ta thấy rằng:
\[ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'C'} \]
Mà:
\[ \overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{AD} \]
\[ \overrightarrow{D'C'} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \]
Do đó:
\[ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \]
Vậy:
\[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \]
Như vậy, đáp án đúng là:
\[ C.~\overrightarrow{AA^\prime}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}. \]
Câu 21.
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow c$, ta thực hiện phép tính $2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b$.
Bước 1: Xác định tọa độ của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$:
- $\overrightarrow a = (1, 2, -3)$
- $\overrightarrow b = (-2, 2, 0)$
Bước 2: Nhân vectơ $\overrightarrow a$ với 2:
\[ 2\overrightarrow a = 2(1, 2, -3) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot -3) = (2, 4, -6) \]
Bước 3: Nhân vectơ $\overrightarrow b$ với 3:
\[ 3\overrightarrow b = 3(-2, 2, 0) = (3 \cdot -2, 3 \cdot 2, 3 \cdot 0) = (-6, 6, 0) \]
Bước 4: Thực hiện phép trừ:
\[ \overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b = (2, 4, -6) - (-6, 6, 0) = (2 + 6, 4 - 6, -6 - 0) = (8, -2, -6) \]
Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow c$ là $(8, -2, -6)$.
Do đó, đáp án đúng là:
\[ B.~\overrightarrow c = (8, -2, -6). \]
Câu 22.
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ được xác định dựa trên các thành phần của nó theo các đơn vị vectơ cơ bản $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, và $\overrightarrow{k}$.
Trong bài toán này, ta có:
\[ \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} \]
Từ đó, ta thấy rằng:
- Thành phần theo hướng $\overrightarrow{i}$ là -1.
- Thành phần theo hướng $\overrightarrow{j}$ là 2.
- Thành phần theo hướng $\overrightarrow{k}$ là -3.
Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là (-1, 2, -3).
Vậy đáp án đúng là:
\[ D.~(-1;2;-3). \]
Câu 23.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$. Ta cần tìm tọa độ của điểm M.
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ là $(2, 1, 3)$, vì:
- Hệ số của $\overrightarrow{i}$ là 2,
- Hệ số của $\overrightarrow{j}$ là 1,
- Hệ số của $\overrightarrow{k}$ là 3.
Do đó, tọa độ của điểm M là $(2, 1, 3)$.
Vậy đáp án đúng là:
$C.~M=(2;1;3).$
Đáp số: $C.~M=(2;1;3).$
Câu 24.
Để tìm tọa độ của trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được tính theo công thức:
\[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \]
Trong đó, \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), và \( C(x_C, y_C, z_C) \).
Áp dụng vào bài toán, ta có:
- \( A(1, 3, 4) \)
- \( B(1, 0, -2) \)
- \( C(4, 0, 1) \)
Tính tọa độ của \( G \):
\[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 1 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \]
\[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{3 + 0 + 0}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
\[ z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{4 + (-2) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
Vậy tọa độ của trọng tâm \( G \) là:
\[ G(2, 1, 1) \]
Do đó, đáp án đúng là:
\[ B.~G(2;1;1) \]
Câu 25.
Để tìm tọa độ của điểm I (trung điểm của đoạn thẳng AB), ta sử dụng công thức tính trung điểm của hai điểm trong không gian.
Công thức trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là:
\[ I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]
Áp dụng vào bài toán:
- Điểm \( A(3, -2, 3) \)
- Điểm \( B(-1, 2, 5) \)
Tọa độ của điểm I sẽ là:
\[ I\left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 2}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) \]
\[ I\left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{8}{2}\right) \]
\[ I(1, 0, 4) \]
Vậy tọa độ của điểm I là \( I(1, 0, 4) \).
Đáp án đúng là: \( B.~I(1;0;4) \)
Câu 26.
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow a - \overrightarrow b$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là $(1; 2; 3)$.
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$ là $(2; 0; -4)$.
Ta có:
\[
\overrightarrow u = \overrightarrow a - \overrightarrow b = (1 - 2; 2 - 0; 3 - (-4)) = (-1; 2; 7)
\]
Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(-1; 2; 7)$.
Do đó, đáp án đúng là:
\[ D.~\overrightarrow u = (-1; 2; 7). \]
Câu 27.
Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm trung vị: Trung vị là giá trị ở giữa của một tập dữ liệu đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng dữ liệu là lẻ, trung vị là giá trị ở chính giữa. Nếu số lượng dữ liệu là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa.
2. Tính trung bình cộng: Trung bình cộng là tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị đó.
3. Tìm giá trị xuất hiện nhiều nhất: Đây là giá trị có tần suất xuất hiện cao nhất trong tập dữ liệu.
Bước 1: Tìm trung vị
- Tổng số quả táo: \(17 + 20 + 25 + 16 + 12 = 90\)
- Số lượng dữ liệu là 90, là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 45 và 46.
Ta tính tổng số quả táo từ trái qua phải:
- Từ [80;82): 17 quả
- Từ [82;84): 17 + 20 = 37 quả
- Từ [84;86): 37 + 25 = 62 quả
Vị trí thứ 45 và 46 nằm trong khoảng [84;86). Do đó, trung vị nằm trong khoảng này.
Bước 2: Tính trung bình cộng
Trung bình cộng của các giá trị trong mỗi khoảng:
- [80;82): 81 gam
- [82;84): 83 gam
- [84;86): 85 gam
- [86;88): 87 gam
- [88;90): 89 gam
Tính trung bình cộng:
\[
\text{Trung bình cộng} = \frac{(81 \times 17) + (83 \times 20) + (85 \times 25) + (87 \times 16) + (89 \times 12)}{90}
\]
\[
= \frac{1377 + 1660 + 2125 + 1392 + 1068}{90}
\]
\[
= \frac{7622}{90} \approx 84.69 \text{ gam}
\]
Bước 3: Tìm giá trị xuất hiện nhiều nhất
Giá trị xuất hiện nhiều nhất là giá trị có tần suất cao nhất:
- [84;86): 25 quả
Do đó, giá trị xuất hiện nhiều nhất nằm trong khoảng [84;86).
Kết luận
- Trung vị: Nằm trong khoảng [84;86)
- Trung bình cộng: Khoảng 84.69 gam
- Giá trị xuất hiện nhiều nhất: Nằm trong khoảng [84;86)
Đáp số:
- Trung vị: [84;86)
- Trung bình cộng: 84.69 gam
- Giá trị xuất hiện nhiều nhất: [84;86)