Tìm tất cả các khoảng sao cho \[h'(x)>0\] và

Để tìm các khoảng sao cho \( h'(x) > 0 \) và \( h''(x) < 0 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm \( h'(x) \) và \( h''(x) \): Giả sử \( h(x) \) là hàm đã cho. Chúng ta cần tính \( h'(x) \) và \( h''(x) \). 2. Xác định các điểm cực trị và điểm uốn: - Các điểm cực trị là nơi \( h'(x) = 0 \) hoặc \( h'(x) \) không xác định. - Các điểm uốn là nơi \( h''(x) = 0 \) hoặc \( h''(x) \) không xác định. 3. Xác định dấu của \( h'(x) \) và \( h''(x) \) trong các khoảng giữa các điểm cực trị và điểm uốn: - Chia đoạn thực thành các khoảng dựa trên các điểm cực trị và điểm uốn. - Chọn một điểm đại diện trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của \( h'(x) \) và \( h''(x) \). 4. Xác định các khoảng sao cho \( h'(x) > 0 \) và \( h''(x) < 0 \): - \( h'(x) > 0 \) nghĩa là hàm \( h(x) \) đang tăng. - \( h''(x) < 0 \) nghĩa là hàm \( h(x) \) đang lõm xuống (concave down). Giả sử chúng ta có hàm \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). Ta sẽ thực hiện các bước trên: 1. Tính đạo hàm: \[ h'(x) = 3x^2 - 6x \] \[ h''(x) = 6x - 6 \] 2. Xác định các điểm cực trị và điểm uốn: - \( h'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] - \( h''(x) = 0 \): \[ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 \] 3. Xác định dấu của \( h'(x) \) và \( h''(x) \) trong các khoảng: - Khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ h'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \] \[ h''(-1) = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12 < 0 \] - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ h'(0.5) = 3(0.5)^2 - 6(0.5) = 3(0.25) - 3 = 0.75 - 3 = -2.25 < 0 \] \[ h''(0.5) = 6(0.5) - 6 = 3 - 6 = -3 < 0 \] - Khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ h'(1.5) = 3(1.5)^2 - 6(1.5) = 3(2.25) - 9 = 6.75 - 9 = -2.25 < 0 \] \[ h''(1.5) = 6(1.5) - 6 = 9 - 6 = 3 > 0 \] - Khoảng \( (2, \infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ h'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 3(9) - 18 = 27 - 18 = 9 > 0 \] \[ h''(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \] 4. Xác định các khoảng sao cho \( h'(x) > 0 \) và \( h''(x) < 0 \): - Chỉ có khoảng \( (-\infty, 0) \) thỏa mãn \( h'(x) > 0 \) và \( h''(x) < 0 \). Vậy, các khoảng sao cho \( h'(x) > 0 \) và \( h''(x) < 0 \) là: \[ (-\infty, 0) \]