giúp em với ạ

Câu 1: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. - Đỉnh A có tọa độ (0;0;0). - Đỉnh B nằm trên trục x, do đó tọa độ của B là (2;0;0). - Đỉnh D nằm trên trục y, do đó tọa độ của D là (0;2;0). - Đỉnh A' nằm trên trục z, do đó tọa độ của A' là (0;0;2). Bây giờ, ta xác định tọa độ của đỉnh C'. Vì C' là đỉnh đối diện với A trong mặt phẳng xy và cũng nằm trên trục z, nên tọa độ của C' sẽ là (2;2;2). Do đó, tọa độ của đỉnh C' là (2;2;2). Tiếp theo, ta tính giá trị của T = a^2 + b^2 + c^2. - Với a = 2, b = 2, c = 2, ta có: T = 2^2 + 2^2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12 Vậy, giá trị của T là 12. Đáp số: T = 12. Câu 2: Để tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 2 \) giây, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \) để tìm được phương trình vận tốc tức thời \( v(t) \). Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ s(t) = -t^3 + 6t^2 + t + 5 \] Bước 1: Tính đạo hàm của \( s(t) \) để tìm \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + t + 5) \] \[ v(t) = -3t^2 + 12t + 1 \] Bước 2: Thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 1 \] \[ v(2) = -3(4) + 24 + 1 \] \[ v(2) = -12 + 24 + 1 \] \[ v(2) = 13 \] Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 2 \) giây là 13 mét/giây. Câu 3: Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 5) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x \] \[ y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6(1) = 6 > 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y_{cd} = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y_{ct} = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3 \] 5. Tính \( a^2 + 2b \): - \( a = y_{cd} = 7 \) - \( b = y_{ct} = 3 \) \[ a^2 + 2b = 7^2 + 2 \cdot 3 = 49 + 6 = 55 \] Vậy kết quả của \( a^2 + 2b \) là 55. Câu 4: Để tìm số lượng sản phẩm mà nhà máy A nên bán cho nhà máy B mỗi tháng để thu được lợi nhuận lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính doanh thu: Doanh thu từ việc bán x tấn sản phẩm là: \[ R(x) = x \cdot P(x) = x(45 - 0,001x^2) = 45x - 0,001x^3 \] 2. Tính lợi nhuận: Lợi nhuận là doanh thu trừ đi chi phí: \[ L(x) = R(x) - C(x) = (45x - 0,001x^3) - (100 + 30x) = 15x - 0,001x^3 - 100 \] 3. Tìm giá trị cực đại của lợi nhuận: Để tìm giá trị cực đại của lợi nhuận, chúng ta tính đạo hàm của \( L(x) \) và tìm điểm cực đại: \[ L'(x) = 15 - 0,003x^2 \] Đặt \( L'(x) = 0 \): \[ 15 - 0,003x^2 = 0 \] \[ 0,003x^2 = 15 \] \[ x^2 = \frac{15}{0,003} = 5000 \] \[ x = \sqrt{5000} \approx 70,7 \] 4. Kiểm tra điều kiện: Vì \( x \) phải nằm trong khoảng từ 0 đến 100 tấn, và \( x = 70,7 \) nằm trong khoảng này, nên đây là giá trị tối ưu. 5. Kết luận: Nhà máy A nên bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng để thu được lợi nhuận lớn nhất. Đáp số: 70,7 tấn. Câu 5: Giả sử doanh nghiệp giảm giá bán mỗi chiếc xe X là \( x \) triệu đồng (\( x > 0 \)). Số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm \( 200x \) chiếc. Do đó, số lượng xe bán ra trong một năm là: \[ 600 + 200x \] Giá bán mới của mỗi chiếc xe là: \[ 31 - x \] Chi phí mua vào mỗi chiếc xe vẫn là 27 triệu đồng. Lợi nhuận từ việc bán mỗi chiếc xe là: \[ (31 - x) - 27 = 4 - x \] Tổng lợi nhuận từ việc bán tất cả các xe trong một năm là: \[ (4 - x)(600 + 200x) \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) để tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Để làm điều này, ta sẽ tìm đạo hàm của biểu thức lợi nhuận và đặt nó bằng 0. Biểu thức lợi nhuận là: \[ f(x) = (4 - x)(600 + 200x) \] Đạo hàm của biểu thức lợi nhuận là: \[ f'(x) = (4 - x)'(600 + 200x) + (4 - x)(600 + 200x)' \] \[ f'(x) = (-1)(600 + 200x) + (4 - x)(200) \] \[ f'(x) = -600 - 200x + 800 - 200x \] \[ f'(x) = 200 - 400x \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( x \): \[ 200 - 400x = 0 \] \[ 400x = 200 \] \[ x = \frac{200}{400} \] \[ x = 0.5 \] Vậy, giá bán mới của mỗi chiếc xe là: \[ 31 - 0.5 = 30.5 \] Đáp số: Giá bán mới là 30.5 triệu đồng. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vị trí của chiếc ô tô mô hình trong khung sắt hình hộp chữ nhật và mối liên hệ giữa các điểm trong không gian. Giả sử khung sắt hình hộp chữ nhật có các đỉnh là A, B, C, D (đáy dưới), A', B', C', D' (đáy trên). Chiếc ô tô mô hình được đặt trên mặt đáy dưới của khung sắt, tức là trên mặt phẳng (ABCD). Bây giờ, chúng ta cần xác định vị trí của móc E. Giả sử móc E nằm ở đỉnh A' của khung sắt (đỉnh trên của hình hộp chữ nhật). Chiếc ô tô mô hình được buộc vào móc E, tức là từ điểm trên mặt đáy dưới (ABCD) đến đỉnh A' của khung sắt. Để lập luận từng bước: 1. Xác định vị trí của các đỉnh của khung sắt hình hộp chữ nhật. 2. Xác định vị trí của móc E (ở đỉnh A'). 3. Xác định vị trí của chiếc ô tô mô hình (trên mặt đáy dưới, mặt phẳng (ABCD)). 4. Biểu diễn mối liên hệ giữa chiếc ô tô mô hình và móc E thông qua các đoạn thẳng trong không gian. Vậy, chiếc ô tô mô hình được đặt trên mặt đáy dưới của khung sắt và được buộc vào móc E ở đỉnh A' của khung sắt. Đáp số: Chiếc ô tô mô hình được đặt trên mặt đáy dưới của khung sắt và được buộc vào móc E ở đỉnh A' của khung sắt.