giúp em với ạ

Câu 1: a. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0.$ Lời giải: Theo bảng biến thiên, khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $0$, hàm số giảm và khi $x$ tăng từ $0$ đến $+\infty$, hàm số cũng giảm. Do đó, hàm số không đạt cực tiểu tại $x=0$. Đáp án: SAI. b. Hàm số có bốn điểm cực trị. Lời giải: Theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ và $x=2$, và đạt cực tiểu tại $x=0$. Như vậy, hàm số có ba điểm cực trị chứ không phải bốn điểm cực trị. Đáp án: SAI. c. Hàm số có giá trị cực đại $y_{cd}=4.$ Lời giải: Theo bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là $y_{cd} = 4$, đạt được tại $x = -2$ và $x = 2$. Đáp án: ĐÚNG. d. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=2$. Lời giải: Theo bảng biến thiên, khi $x$ tiến đến $-\infty$ và $+\infty$, giá trị của hàm số tiến đến $2$. Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 2$. Đáp án: ĐÚNG. Kết luận: - a. SAI - b. SAI - c. ĐÚNG - d. ĐÚNG Câu 2: a) $\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 4-2, -2-3) = (2, 2, -5)$ b) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3-2}{2}\right) = \left(2, 3, \frac{1}{2}\right) \] c) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33} \] d) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \[ G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) = \left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{2+4+3}{3}, \frac{3-2+2}{3}\right) = \left(\frac{6}{3}, \frac{9}{3}, \frac{3}{3}\right) = (2, 3, 1) \] Câu 3: a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ 18 - 8 = 10 \] b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu \( Q_1 \): - Số lượng dữ liệu là 25, do đó \( n = 25 \). - Tứ phân vị thứ nhất nằm ở vị trí: \[ \frac{n + 1}{4} = \frac{25 + 1}{4} = 6,5 \] - Vị trí này nằm trong khoảng [10;12), vì 6,5 nằm giữa 6 và 8. - Tứ phân vị thứ nhất \( Q_1 \) được tính bằng công thức: \[ Q_1 = 10 + \left( \frac{6,5 - 6}{8 - 6} \right) \times 2 = 10 + \left( \frac{0,5}{2} \right) \times 2 = 10 + 0,5 = 10,5 \] c) Giá trị trung bình của mẫu số liệu \( \overline{x} \): - Tính trung bình cộng của mỗi nhóm: \[ \text{Nhóm } [8;10): \quad 9 \] \[ \text{Nhóm } [10;12): \quad 11 \] \[ \text{Nhóm } [12;14): \quad 13 \] \[ \text{Nhóm } [14;16): \quad 15 \] \[ \text{Nhóm } [16;18): \quad 17 \] - Tính tổng số lần của mỗi nhóm nhân với trung bình cộng của nhóm đó: \[ 4 \times 9 = 36 \] \[ 6 \times 11 = 66 \] \[ 8 \times 13 = 104 \] \[ 4 \times 15 = 60 \] \[ 3 \times 17 = 51 \] - Tổng số lần: \[ 4 + 6 + 8 + 4 + 3 = 25 \] - Giá trị trung bình: \[ \overline{x} = \frac{36 + 66 + 104 + 60 + 51}{25} = \frac{317}{25} = 12,68 \] d) Phương sai của mẫu số liệu \( s^2 \): - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị trung bình nhóm và giá trị trung bình mẫu số liệu: \[ (9 - 12,68)^2 = (-3,68)^2 = 13,5424 \] \[ (11 - 12,68)^2 = (-1,68)^2 = 2,8224 \] \[ (13 - 12,68)^2 = (0,32)^2 = 0,1024 \] \[ (15 - 12,68)^2 = (2,32)^2 = 5,3824 \] \[ (17 - 12,68)^2 = (4,32)^2 = 18,6624 \] - Nhân mỗi bình phương hiệu với số lần tương ứng: \[ 4 \times 13,5424 = 54,1696 \] \[ 6 \times 2,8224 = 16,9344 \] \[ 8 \times 0,1024 = 0,8192 \] \[ 4 \times 5,3824 = 21,5296 \] \[ 3 \times 18,6624 = 55,9872 \] - Tổng các giá trị trên: \[ 54,1696 + 16,9344 + 0,8192 + 21,5296 + 55,9872 = 149,44 \] - Phương sai: \[ s^2 = \frac{149,44}{25 - 1} = \frac{149,44}{24} \approx 6,2267 \] Đáp số: a) Khoảng biến thiên: 10 b) Tứ phân vị thứ nhất: 10,5 c) Giá trị trung bình: 12,68 d) Phương sai: 6,2267 Câu 4: Để giải quyết các phát biểu về hàm số \( y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 \), chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một cách chi tiết. a) Hàm số đồng biến trong khoảng \((2; +\infty)\). Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3) = 3x^2 - 6x. \] Phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2. \] Ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \): - Khi \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến). - Khi \( 0 < x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến). Vậy phát biểu a) đúng. b) Điểm cực tiểu của hàm số là \( x = 2 \). Từ việc xét dấu đạo hàm ở trên, ta thấy: - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = 2 \), do đó \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Vậy phát biểu b) đúng. c) Phương trình \( f(x) = 2 \) có 3 nghiệm phân biệt. Ta giải phương trình: \[ x^3 - 3x^2 + 3 = 2 \] \[ x^3 - 3x^2 + 1 = 0. \] Ta thử nghiệm các giá trị \( x \): - \( x = 1 \): \( 1^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \neq 0 \). - \( x = 0 \): \( 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1 \neq 0 \). - \( x = -1 \): \( (-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -1 - 3 + 1 = -3 \neq 0 \). Do đó, phương trình \( x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \) có ít nhất một nghiệm thực. Ta cần kiểm tra thêm để xác định số lượng nghiệm. Ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc các phương pháp khác để xác định rằng phương trình này có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phát biểu c) đúng. d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\) bằng 3. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn: - \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 3 = -1 - 3 + 3 = -1 \). - \( f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3 = 1 - 3 + 3 = 1 \). - \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 3 = 3 \). Trong đoạn \([-1; 1]\), giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được tại \( x = 0 \). Vậy phát biểu d) đúng. Kết luận: Các phát biểu a), b), c), và d) đều đúng.