Giải hộ mình câu này với các bạn***

Câu 2. a) Chứng minh K là trung điểm của AB: - Xét tam giác OMA và OMB, ta thấy: - OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)). - OM chung. - $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$ (vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)). - Do đó, tam giác OMA và OMB bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra: $\angle OAK = \angle OBK$. - Vì $\angle OAK = \angle OBK$, nên OK là đường phân giác của $\angle AOB$. - Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, OK cũng là đường trung trực của đoạn thẳng AB. - Vậy K là trung điểm của AB. b) Chứng minh rằng $MB \cdot BN = BH \cdot MO$: - Xét tam giác MBN và tam giác BHO, ta thấy: - $\angle MBN = \angle BHO = 90^\circ$ (vì MB là tiếp tuyến và BH vuông góc với AN). - $\angle MNB = \angle HBO$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung NB). - Do đó, tam giác MBN và tam giác BHO đồng dạng (góc - góc). - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{MB}{BH} = \frac{BN}{MO}$. - Nhân cả hai vế với $BH \cdot MO$, ta được: $MB \cdot BN = BH \cdot MO$. c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OB, ON và cung nhỏ BN theo R: - Ta biết rằng $OM = 2R$ và $OA = OB = R$. - Tam giác OMA và OMB là tam giác vuông cân tại O, do đó $\angle AOM = \angle BOM = 45^\circ$. - Suy ra $\angle AOB = 90^\circ$. - Vì $\angle AOB = 90^\circ$, nên $\angle BON = 90^\circ$. - Diện tích hình quạt BON là: \[ S_{quạt} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi R^2 \] Đáp số: a) K là trung điểm của AB. b) $MB \cdot BN = BH \cdot MO$. c) Diện tích hình quạt BON là $\frac{1}{4} \pi R^2$. Câu 3. a) Chứng minh rằng $\widehat{COD}=90^0$ và $AC.BD={AB^2}$. - Xét tam giác vuông AOC và tam giác vuông AMO có: + OC = OM (vì cả hai đều là bán kính của nửa đường tròn) + AO chung + $\widehat{AOC}=\widehat{AMO}=90^0$ (do tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc) Do đó, tam giác AOC và tam giác AMO bằng nhau (cạnh huyền và cạnh góc vuông). Từ đó ta có AC = AM. - Xét tam giác vuông BOD và tam giác vuông BMO có: + OD = OM (vì cả hai đều là bán kính của nửa đường tròn) + BO chung + $\widehat{BOD}=\widehat{BMO}=90^0$ (do tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc) Do đó, tam giác BOD và tam giác BMO bằng nhau (cạnh huyền và cạnh góc vuông). Từ đó ta có BD = BM. - Ta có: + AC = AM + BD = BM Nhân cả hai vế ta được: \[ AC \times BD = AM \times BM \] - Xét tam giác AMB có: + AMB là tam giác vuông tại M (do tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc) + AB là đường cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AB Theo tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AM \times BM = AB^2 \] Vậy: \[ AC \times BD = AB^2 \] - Để chứng minh $\widehat{COD}=90^0$, ta xét tam giác COD: + OC = OD (vì cả hai đều là bán kính của nửa đường tròn) + CD là tiếp tuyến chung của hai tiếp tuyến Ax và By Theo tính chất của tiếp tuyến và bán kính, ta có: \[ \widehat{COD} = 90^0 \] Vậy ta đã chứng minh được $\widehat{COD}=90^0$ và $AC \times BD = AB^2$.