Giúp mình với!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( A \) Biểu thức \( A \) được cho là: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{x}{9 - x} \right) : \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \] Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong ngoặc đơn Ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] Tìm mẫu chung của hai phân thức: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} = \frac{(\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 9} \] Bước 2: Rút gọn phân thức \(\frac{x}{9 - x}\) \[ \frac{x}{9 - x} = -\frac{x}{x - 9} \] Bước 3: Kết hợp các phân thức lại \[ \frac{2\sqrt{x}}{x - 9} - \frac{x}{x - 9} = \frac{2\sqrt{x} - x}{x - 9} \] Bước 4: Chia biểu thức cho \(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}\) \[ A = \left( \frac{2\sqrt{x} - x}{x - 9} \right) : \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \] Chuyển phép chia thành phép nhân với nghịch đảo: \[ A = \left( \frac{2\sqrt{x} - x}{x - 9} \right) \times \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} \] Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{(2\sqrt{x} - x)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 2)} \] b) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) Thay \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{(2\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - (3 + 2\sqrt{2}))(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + 3)}{(3 + 2\sqrt{2} - 9)(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + 2)} \] Chúng ta cần kiểm tra giá trị của \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \): \[ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 \] Do đó: \[ 2\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 2(\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} + 2 \] Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{(2\sqrt{2} + 2 - 3 - 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1 + 3)}{(3 + 2\sqrt{2} - 9)(\sqrt{2} + 1 + 2)} \] \[ A = \frac{(2 - 3)(\sqrt{2} + 4)}{(2\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 3)} \] \[ A = \frac{-1(\sqrt{2} + 4)}{(2\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 3)} \] Tính tiếp: \[ A = \frac{-(\sqrt{2} + 4)}{(2\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 3)} \] Đây là giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 3 + 2\sqrt{2} \). Câu 26: a) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 5y = -3 \\ 3x - y = 4 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 5 để dễ dàng trừ phương trình thứ nhất: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 5y = -3 \\ 15x - 5y = 20 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại: \[ (2x + 5y) + (15x - 5y) = -3 + 20 \] \[ 17x = 17 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( 3x - y = 4 \): \[ 3(1) - y = 4 \] \[ 3 - y = 4 \] \[ -y = 1 \] \[ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). c) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 3 \\ x + 2y = -1 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 2y = 6 \\ x + 2y = -1 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại: \[ (4x - 2y) + (x + 2y) = 6 + (-1) \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( 2x - y = 3 \): \[ 2(1) - y = 3 \] \[ 2 - y = 3 \] \[ -y = 1 \] \[ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). Đáp số: a) \( (x, y) = (1, -1) \) c) \( (x, y) = (1, -1) \) Câu 27: a) \(x^2 - 9 = 3(x + 3)\) Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo phương trình bằng 0: \[x^2 - 9 - 3(x + 3) = 0\] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[x^2 - 9 - 3x - 9 = 0\] \[x^2 - 3x - 18 = 0\] Bước 3: Nhân đôi cả hai vế để dễ dàng phân tích thành nhân tử: \[2(x^2 - 3x - 18) = 0\] \[2x^2 - 6x - 36 = 0\] Bước 4: Phân tích thành nhân tử: \[(2x + 6)(x - 6) = 0\] Bước 5: Giải phương trình tích: \[2x + 6 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 6 = 0\] \[x = -3 \quad \text{hoặc} \quad x = 6\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -3\) hoặc \(x = 6\). b) \(x^2 - x = -2x + 2\) Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo phương trình bằng 0: \[x^2 - x + 2x - 2 = 0\] \[x^2 + x - 2 = 0\] Bước 2: Phân tích thành nhân tử: \[(x + 2)(x - 1) = 0\] Bước 3: Giải phương trình tích: \[x + 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0\] \[x = -2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -2\) hoặc \(x = 1\). c) \(x^2 - 3x = 2x - 6\) Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo phương trình bằng 0: \[x^2 - 3x - 2x + 6 = 0\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\] Bước 2: Phân tích thành nhân tử: \[(x - 2)(x - 3) = 0\] Bước 3: Giải phương trình tích: \[x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0\] \[x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 3\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\) hoặc \(x = 3\). Câu 28: a) Điều kiện xác định: \( x \neq -1 \) và \( x \neq 2 \). Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{2(x-2) + (x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{(x+1)(x-2)} \] \[ 2(x-2) + (x+1) = 3 \] \[ 2x - 4 + x + 1 = 3 \] \[ 3x - 3 = 3 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra lại điều kiện xác định, ta thấy \( x = 2 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \). Vậy phương trình vô nghiệm. b) Điều kiện xác định: \( x \neq 3 \) và \( x \neq 0 \). Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{x(x+3) + (x-3)(x-2)}{x(x-3)} = 2 \] \[ x(x+3) + (x-3)(x-2) = 2x(x-3) \] \[ x^2 + 3x + x^2 - 5x + 6 = 2x^2 - 6x \] \[ 2x^2 - 2x + 6 = 2x^2 - 6x \] \[ -2x + 6 = -6x \] \[ 4x = -6 \] \[ x = -\frac{3}{2} \] Kiểm tra lại điều kiện xác định, ta thấy \( x = -\frac{3}{2} \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 3 \) và \( x \neq 0 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{3}{2} \). c) Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \). Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{x^2 + x + 1 - 4x}{x^3 - 1} = \frac{x(x-1)}{x^3 - 1} \] \[ x^2 + x + 1 - 4x = x(x-1) \] \[ x^2 - 3x + 1 = x^2 - x \] \[ -3x + 1 = -x \] \[ -2x = -1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Kiểm tra lại điều kiện xác định, ta thấy \( x = \frac{1}{2} \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 1 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{2} \). d) Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -1 \). Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{3(x+1) + 2(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} \] \[ 3(x+1) + 2(x-2) = 2x + 5 \] \[ 3x + 3 + 2x - 4 = 2x + 5 \] \[ 5x - 1 = 2x + 5 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra lại điều kiện xác định, ta thấy \( x = 2 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \). Vậy phương trình vô nghiệm. Đáp số: a) Vô nghiệm. b) \( x = -\frac{3}{2} \). c) \( x = \frac{1}{2} \). d) Vô nghiệm. Câu 29: 1) Giải bất phương trình: $3(x-2)-5 \geq 3(2x-1)$ Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn: \[ 3x - 6 - 5 \geq 6x - 3 \] \[ 3x - 11 \geq 6x - 3 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 3x - 6x \geq -3 + 11 \] \[ -3x \geq 8 \] Bước 3: Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x \leq -\frac{8}{3} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $x \leq -\frac{8}{3}$ 2) Giải bất phương trình: $-5(x-2) + 2(x-3) \geq 7$ Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn: \[ -5x + 10 + 2x - 6 \geq 7 \] \[ -3x + 4 \geq 7 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ -3x \geq 7 - 4 \] \[ -3x \geq 3 \] Bước 3: Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x \leq -1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $x \leq -1$ 5) Giải bất phương trình: $(x-1)^2 < x(x+3)$ Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn: \[ x^2 - 2x + 1 < x^2 + 3x \] Bước 2: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ x^2 - 2x + 1 - x^2 - 3x < 0 \] \[ -5x + 1 < 0 \] Bước 3: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ -5x < -1 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho -5 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x > \frac{1}{5} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $x > \frac{1}{5}$ 6) Giải bất phương trình: $2(x+2)^2 < 2x(x+2) + 4$ Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn: \[ 2(x^2 + 4x + 4) < 2x^2 + 4x + 4 \] \[ 2x^2 + 8x + 8 < 2x^2 + 4x + 4 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 2x^2 + 8x + 8 - 2x^2 - 4x - 4 < 0 \] \[ 4x + 4 < 0 \] Bước 3: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 4x < -4 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 4: \[ x < -1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $x < -1$ Câu 30: Để biết liệu tấm lưới có đủ dài để bác An rào xung quanh mảnh vườn hình chữ nhật hay không, chúng ta cần tính chu vi của mảnh vườn và so sánh nó với độ dài của tấm lưới. 1. Tìm chiều rộng của mảnh vườn: Chiều rộng của mảnh vườn là: \[ x - 10 \text{ (m)} \] 2. Tính chu vi của mảnh vườn: Chu vi của một hình chữ nhật được tính bằng công thức: \[ P = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ P = 2 \times (x + (x - 10)) = 2 \times (2x - 10) = 4x - 20 \text{ (m)} \] 3. So sánh chu vi với độ dài của tấm lưới: Độ dài của tấm lưới là 90m. Để tấm lưới đủ dài, chu vi của mảnh vườn phải nhỏ hơn hoặc bằng 90m: \[ 4x - 20 \leq 90 \] 4. Giải bất phương trình: \[ 4x - 20 \leq 90 \] \[ 4x \leq 110 \] \[ x \leq 27.5 \] 5. Kiểm tra điều kiện: Theo đề bài, bác An ước lượng là \( x > 30 \). Tuy nhiên, từ bất phương trình trên, ta thấy \( x \leq 27.5 \). Điều này mâu thuẫn với điều kiện \( x > 30 \). Do đó, nếu \( x > 30 \), thì chu vi của mảnh vườn sẽ lớn hơn 90m, tức là tấm lưới không đủ dài để rào xung quanh mảnh vườn. Kết luận: Tấm lưới không đủ dài để bác An rào xung quanh mảnh vườn nếu \( x > 30 \). Câu 31 Điểm số trung bình của ba môn là: \[ \frac{2 \times \text{Toán} + 2 \times \text{Ngữ văn} + 1 \times \text{Tiếng Anh}}{2 + 2 + 1} \] Để trúng tuyển, điểm số trung bình của ba môn ít nhất phải bằng 8, tức là: \[ \frac{2 \times 9,0 + 2 \times 7,5 + 1 \times \text{Tiếng Anh}}{5} \geq 8 \] Bây giờ, chúng ta sẽ giải bất phương trình này để tìm điểm số Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Tuấn phải đạt để trúng tuyển. Nhân cả hai vế của bất phương trình với 5: \[ 2 \times 9,0 + 2 \times 7,5 + 1 \times \text{Tiếng Anh} \geq 8 \times 5 \] Tính các giá trị: \[ 18,0 + 15,0 + \text{Tiếng Anh} \geq 40 \] Cộng các giá trị: \[ 33,0 + \text{Tiếng Anh} \geq 40 \] Trừ 33,0 từ cả hai vế: \[ \text{Tiếng Anh} \geq 40 - 33,0 \] \[ \text{Tiếng Anh} \geq 7,0 \] Vậy điểm số Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Tuấn phải đạt để trúng tuyển là 7,0 điểm. Câu 32 Gọi số tiền bác Minh gửi vào ngân hàng là x (triệu đồng, điều kiện: x > 0). Số tiền bác Minh đầu tư vào nhà hàng là: 550 - x (triệu đồng). Tiền lãi từ ngân hàng sau 1 năm là: $\frac{x \times 7}{100} = \frac{7x}{100}$ (triệu đồng). Tiền lãi từ nhà hàng sau 1 năm là: $\frac{(550 - x) \times 10}{100} = \frac{5500 - 10x}{100}$ (triệu đồng). Theo đề bài, tổng tiền lãi từ hai khoản sau 1 năm là 46 triệu đồng, ta có phương trình: \[ \frac{7x}{100} + \frac{5500 - 10x}{100} = 46 \] Nhân cả hai vế với 100 để loại mẫu số: \[ 7x + 5500 - 10x = 4600 \] Rearrange the equation: \[ -3x + 5500 = 4600 \] Subtract 5500 from both sides: \[ -3x = -900 \] Divide both sides by -3: \[ x = 300 \] Vậy số tiền bác Minh gửi vào ngân hàng là 300 triệu đồng. Số tiền bác Minh đầu tư vào nhà hàng là: \[ 550 - 300 = 250 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: Số tiền bác Minh gửi vào ngân hàng là 300 triệu đồng, số tiền bác Minh đầu tư vào nhà hàng là 250 triệu đồng. Câu 33: a) Giải các bất phương trình: 1. \(3(x-2)-5 \geq 3(2x-1)\) \[ 3x - 6 - 5 \geq 6x - 3 \\ 3x - 11 \geq 6x - 3 \\ 3x - 6x \geq -3 + 11 \\ -3x \geq 8 \\ x \leq -\frac{8}{3} \] 2. \(3(2 + x) \leq x - 8\) \[ 6 + 3x \leq x - 8 \\ 3x - x \leq -8 - 6 \\ 2x \leq -14 \\ x \leq -7 \] b) Cho \(3a + 2 \geq 3b + 5\). Chứng minh rằng \(a \geq b + 1\): \[ 3a + 2 \geq 3b + 5 \\ 3a - 3b \geq 5 - 2 \\ 3(a - b) \geq 3 \\ a - b \geq 1 \\ a \geq b + 1 \] Đáp số: a) \(x \leq -\frac{8}{3}\) và \(x \leq -7\) b) \(a \geq b + 1\) Câu 34: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của tang (tangent) để tìm góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất. Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Chiều cao của đài quan sát Toronto: 533 m - Chiều dài của bóng: 1 100 m Bước 2: Xác định góc cần tìm: Gọi góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là $\alpha$. Bước 3: Áp dụng tỉ số lượng giác của tang: Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của tang của một góc nhọn là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh kề với góc đó. \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Chiều cao của đài quan sát}}{\text{Chiều dài của bóng}} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{533}{1100} \] Bước 4: Tính giá trị của $\tan(\alpha)$: \[ \tan(\alpha) = \frac{533}{1100} \approx 0.4845 \] Bước 5: Tìm góc $\alpha$: Chúng ta sẽ sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm góc $\alpha$ sao cho $\tan(\alpha) \approx 0.4845$. \[ \alpha \approx \tan^{-1}(0.4845) \approx 25.9^\circ \] Làm tròn đến độ, ta có: \[ \alpha \approx 26^\circ \] Vậy, góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là khoảng 26 độ.