Giúp tớ với ạ

Câu 4: a) Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = x(x^2 - y) + x^2(y - x) - x^2y \] Ta thực hiện phép nhân và phân phối: \[ P = x \cdot x^2 - x \cdot y + x^2 \cdot y - x^2 \cdot x - x^2 \cdot y \] \[ P = x^3 - xy + x^2y - x^3 - x^2y \] Nhóm các hạng tử giống nhau: \[ P = (x^3 - x^3) + (-xy + x^2y - x^2y) \] \[ P = 0 - xy \] \[ P = -xy \] b) Tính giá trị của \( P \) khi \( x = 2 \) và \( y = -3 \): \[ P = -xy \] \[ P = -(2)(-3) \] \[ P = 6 \] Đáp số: a) \( P = -xy \) b) \( P = 6 \) Câu 6. 1. Tính: $(x-y)^2$ Ta sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ 2. Tìm x, biết: $(5x-1)^2-(5x-4)(5x+4)=7$ Ta sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(5x-1)^2 - [(5x)^2 - 4^2] = 7$ $(5x-1)^2 - [25x^2 - 16] = 7$ $(5x-1)^2 - 25x^2 + 16 = 7$ $(5x-1)^2 - 25x^2 = 7 - 16$ $(5x-1)^2 - 25x^2 = -9$ Ta sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $25x^2 - 10x + 1 - 25x^2 = -9$ $-10x + 1 = -9$ $-10x = -9 - 1$ $-10x = -10$ $x = \frac{-10}{-10}$ $x = 1$ 3. Tính giá trị biểu thức: $C=(x+y-7)^2-2(x+y-7)(y-6)+(y-6)^2$ tại $x=101$. Ta nhận thấy rằng biểu thức này có dạng $(a-b)^2$, với $a = x+y-7$ và $b = y-6$: $C = (x+y-7 - (y-6))^2$ $C = (x+y-7-y+6)^2$ $C = (x-1)^2$ Thay $x = 101$ vào biểu thức: $C = (101-1)^2$ $C = 100^2$ $C = 10000$ Đáp số: 1. $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ 2. $x = 1$ 3. $C = 10000$ Câu 7. a) Thu gọn đơn thức $A$: \[ A = (-\frac{1}{2}x^2y^3z^2)^2 \cdot \frac{4}{3}xy^3z \] \[ = \left( \frac{1}{4}x^4y^6z^4 \right) \cdot \frac{4}{3}xy^3z \] \[ = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot x^4 \cdot x \cdot y^6 \cdot y^3 \cdot z^4 \cdot z \] \[ = \frac{1}{3} x^{4+1} y^{6+3} z^{4+1} \] \[ = \frac{1}{3} x^5 y^9 z^5 \] b) Phần hệ số và bậc của đơn thức: - Hệ số: $\frac{1}{3}$ - Bậc của đơn thức: $5 + 9 + 5 = 19$ c) Tính giá trị của đơn thức sau khi thu gọn tại $x = 2$, $y = \frac{-1}{2}$, $z = -1$: \[ A = \frac{1}{3} x^5 y^9 z^5 \] \[ = \frac{1}{3} \cdot 2^5 \cdot \left( \frac{-1}{2} \right)^9 \cdot (-1)^5 \] \[ = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \left( \frac{-1}{512} \right) \cdot (-1) \] \[ = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \frac{1}{512} \cdot 1 \] \[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{32}{512} \] \[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16} \] \[ = \frac{1}{48} \] Đáp số: a) $A = \frac{1}{3} x^5 y^9 z^5$ b) Hệ số: $\frac{1}{3}$, Bậc: 19 c) Giá trị của đơn thức tại $x = 2$, $y = \frac{-1}{2}$, $z = -1$: $\frac{1}{48}$ Câu 8. a) Ta có: \[ A = x^2 - 8xy + 16y^2 \] Nhận thấy rằng biểu thức trên có dạng \( (x - 4y)^2 \): \[ A = (x - 4y)^2 \] Thay \( x - 4y = -3 \) vào biểu thức: \[ A = (-3)^2 = 9 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là 9. b) Ta có: \[ C = (x - 3y)^2 - (x - 2y)(2y + x) \] Phân tích biểu thức: \[ C = (x - 3y)^2 - (x - 2y)(x + 2y) \] Áp dụng hằng đẳng thức \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) và \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \): \[ C = (x^2 - 6xy + 9y^2) - (x^2 - (2y)^2) \] \[ C = x^2 - 6xy + 9y^2 - x^2 + 4y^2 \] \[ C = -6xy + 13y^2 \] Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \) vào biểu thức: \[ C = -6(2)(-1) + 13(-1)^2 \] \[ C = 12 + 13 \] \[ C = 25 \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) là 25. Câu 9 a) \(2xy + 5x^2y - x^3y\) Các hạng tử của đa thức này đều có chứa \(xy\) làm thừa số chung. Ta sẽ thực hiện phép phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt \(xy\) làm thừa số chung: \[2xy + 5x^2y - x^3y = xy(2 + 5x - x^2)\] b) \((x + y)^2 - 9x^2\) Ta nhận thấy đây là dạng hiệu hai bình phương \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), trong đó \(a = x + y\) và \(b = 3x\): \[(x + y)^2 - 9x^2 = (x + y)^2 - (3x)^2 = (x + y - 3x)(x + y + 3x) = (y - 2x)(4x + y)\] Vậy ta đã hoàn thành việc phân tích đa thức thành nhân tử cho cả hai trường hợp. Câu 10. a) $(x+2)^2 - x(x+3) = 2$ Bước 1: Mở ngoặc và thực hiện phép nhân: \[ (x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 3x) = 2 \] Bước 2: Thu gọn các hạng tử: \[ x^2 + 4x + 4 - x^2 - 3x = 2 \] \[ x + 4 = 2 \] Bước 3: Giải phương trình bậc nhất: \[ x = 2 - 4 \] \[ x = -2 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -2 \). b) \( x(x-3) - x + 3 = 0 \) Bước 1: Mở ngoặc và thực hiện phép nhân: \[ x^2 - 3x - x + 3 = 0 \] Bước 2: Thu gọn các hạng tử: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Bước 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = 3 \). Câu 11. a) \(2xy + 5x^2y - x^3y\) Ta thấy tất cả các hạng tử đều có chung thừa số \(xy\), do đó ta có thể đặt \(xy\) làm thừa số chung: \[ 2xy + 5x^2y - x^3y = xy(2 + 5x - x^2) \] b) \((x + y)^2 - 9x^2\) Ta nhận thấy đây là hiệu hai bình phương: \[ (x + y)^2 - 9x^2 = (x + y)^2 - (3x)^2 = (x + y - 3x)(x + y + 3x) = (y - 2x)(4x + y) \] i) \(3x + 3y - x^2 - 2xy - y^2\) Ta nhóm lại để dễ dàng nhận ra cấu trúc: \[ 3x + 3y - x^2 - 2xy - y^2 = -(x^2 + 2xy + y^2) + 3(x + y) = -(x + y)^2 + 3(x + y) = (x + y)(3 - (x + y)) = (x + y)(3 - x - y) \] j) \(x^4y^4 + 64\) Ta nhận thấy đây là tổng hai bình phương, nhưng không thể phân tích trực tiếp. Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân thêm một thừa số thích hợp: \[ x^4y^4 + 64 = (x^2y^2)^2 + 8^2 = (x^2y^2 + 8)^2 - 2 \cdot x^2y^2 \cdot 8 = (x^2y^2 + 8)^2 - (4xy)^2 = (x^2y^2 + 8 - 4xy)(x^2y^2 + 8 + 4xy) \] c) \(2(x - y) + xy - x^2\) Ta nhóm lại để dễ dàng nhận ra cấu trúc: \[ 2(x - y) + xy - x^2 = -x^2 + xy + 2x - 2y = -x(x - y) + 2(x - y) = (x - y)(2 - x) \] d) \(3x^2 + 2x - 1\) Ta tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a + b = 2\) và \(ab = 3 \cdot (-1) = -3\): \[ 3x^2 + 2x - 1 = 3x^2 + 3x - x - 1 = 3x(x + 1) - 1(x + 1) = (3x - 1)(x + 1) \] e) \(-x^2 + 4x - 3\) Ta tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a + b = 4\) và \(ab = -3\): \[ -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x^2 - 3x - x + 3) = -(x(x - 3) - 1(x - 3)) = -(x - 1)(x - 3) \] f) \(x^2 - 7x + 12\) Ta tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a + b = -7\) và \(ab = 12\): \[ x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x + 12 = x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x - 4) \] g) \(5x(x^2 - y^2) + 2y(x + y)\) Ta nhận thấy \(x^2 - y^2\) là hiệu hai bình phương: \[ 5x(x^2 - y^2) + 2y(x + y) = 5x(x - y)(x + y) + 2y(x + y) = (x + y)(5x(x - y) + 2y) = (x + y)(5x^2 - 5xy + 2y) \] h) \(x^2 - \frac{3}{2}x - 1\) Ta nhân cả biểu thức với 2 để dễ dàng hơn: \[ 2(x^2 - \frac{3}{2}x - 1) = 2x^2 - 3x - 2 = 2x^2 - 4x + x - 2 = 2x(x - 2) + 1(x - 2) = (2x + 1)(x - 2) \] i) \(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x - y\) Ta nhận thấy đây là tổng hai lập phương trừ đi \(x + y\): \[ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x - y = (x + y)^3 - (x + y) = (x + y)((x + y)^2 - 1) = (x + y)(x + y - 1)(x + y + 1) \] j) \(x^4y^4 + 64\) Ta đã giải ở trên. k) \(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x - y\) Ta đã giải ở trên. l) \(x^8 + x + 1\) Ta nhóm lại để dễ dàng nhận ra cấu trúc: \[ x^8 + x + 1 = x^8 + x^4 + x^4 + x + 1 = x^4(x^4 + 1) + (x^4 + x + 1) = (x^4 + 1)(x^4 + x + 1) \] m) \(x^3 + y^3 - 2(x^2 - y^2)\) Ta nhận thấy đây là tổng hai lập phương trừ đi hai lần hiệu hai bình phương: \[ x^3 + y^3 - 2(x^2 - y^2) = (x + y)(x^2 - xy + y^2) - 2(x - y)(x + y) = (x + y)(x^2 - xy + y^2 - 2x + 2y) \] n) \((x^2 + y)^2 - 2x^2 - 2y + 1\) Ta nhóm lại để dễ dàng nhận ra cấu trúc: \[ (x^2 + y)^2 - 2x^2 - 2y + 1 = (x^2 + y)^2 - 2(x^2 + y) + 1 = ((x^2 + y) - 1)^2 \] o) \(x^2 + 5x + 6\) Ta tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a + b = 5\) và \(ab = 6\): \[ x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) \] p) \((x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6\) Ta nhóm lại để dễ dàng nhận ra cấu trúc: \[ (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 \] Đáp số: a) \(xy(2 + 5x - x^2)\) b) \((y - 2x)(4x + y)\) i) \((x + y)(3 - x - y)\) j) \((x^2y^2 + 8 - 4xy)(x^2y^2 + 8 + 4xy)\) c) \((x - y)(2 - x)\) d) \((3x - 1)(x + 1)\) e) \(-(x - 1)(x - 3)\) f) \((x - 3)(x - 4)\) g) \((x + y)(5x^2 - 5xy + 2y)\) h) \((2x + 1)(x - 2)\) i) \((x + y)((x + y)^2 - 1)\) j) \((x^2y^2 + 8 - 4xy)(x^2y^2 + 8 + 4xy)\) k) \((x + y)((x + y)^2 - 1)\) l) \((x^4 + 1)(x^4 + x + 1)\) m) \((x + y)(x^2 - xy + y^2 - 2x + 2y)\) n) \(((x^2 + y) - 1)^2\) o) \((x + 2)(x + 3)\) p) \((x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6\) Bài 11. Để tìm giá trị của \( x \) trong các hình đã cho, chúng ta sẽ áp dụng các tính chất của hình học và các phương pháp giải toán phù hợp với trình độ lớp 8. Hình 1: Ta có góc \( x \) nằm trong tam giác cân, do đó hai góc ở đáy bằng nhau. Ta gọi góc ở đỉnh là \( y \). Theo tính chất tổng các góc trong một tam giác là \( 180^\circ \): \[ x + x + y = 180^\circ \] \[ 2x + y = 180^\circ \] Biết rằng góc ở đỉnh \( y = 100^\circ \): \[ 2x + 100^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 80^\circ \] \[ x = 40^\circ \] Hình 2: Ta có góc \( x \) nằm trong tam giác vuông, do đó tổng các góc trong tam giác là \( 180^\circ \). Góc vuông là \( 90^\circ \), góc còn lại là \( 50^\circ \): \[ x + 90^\circ + 50^\circ = 180^\circ \] \[ x + 140^\circ = 180^\circ \] \[ x = 40^\circ \] Hình 3: Ta có góc \( x \) nằm trong tam giác đều, do đó tất cả các góc đều bằng nhau. Theo tính chất tổng các góc trong một tam giác là \( 180^\circ \): \[ x + x + x = 180^\circ \] \[ 3x = 180^\circ \] \[ x = 60^\circ \] Hình 4: Ta có góc \( x \) nằm trong tam giác cân, do đó hai góc ở đáy bằng nhau. Ta gọi góc ở đỉnh là \( y \). Theo tính chất tổng các góc trong một tam giác là \( 180^\circ \): \[ x + x + y = 180^\circ \] \[ 2x + y = 180^\circ \] Biết rằng góc ở đỉnh \( y = 120^\circ \): \[ 2x + 120^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 60^\circ \] \[ x = 30^\circ \] Hình 5: Ta có góc \( x \) nằm trong tam giác vuông, do đó tổng các góc trong tam giác là \( 180^\circ \). Góc vuông là \( 90^\circ \), góc còn lại là \( 30^\circ \): \[ x + 90^\circ + 30^\circ = 180^\circ \] \[ x + 120^\circ = 180^\circ \] \[ x = 60^\circ \] Kết luận: Giá trị của \( x \) trong các hình lần lượt là: - Hình 1: \( x = 40^\circ \) - Hình 2: \( x = 40^\circ \) - Hình 3: \( x = 60^\circ \) - Hình 4: \( x = 30^\circ \) - Hình 5: \( x = 60^\circ \) Đáp số: - Hình 1: \( x = 40^\circ \) - Hình 2: \( x = 40^\circ \) - Hình 3: \( x = 60^\circ \) - Hình 4: \( x = 30^\circ \) - Hình 5: \( x = 60^\circ \)