aaaaaaaaaaaaaaa

Câu 1: Để đổi góc từ radian sang độ, ta sử dụng công thức: \[ \text{Số đo góc (độ)} = \text{Số đo góc (radian)} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] Áp dụng vào bài toán này: \[ \frac{\pi}{4} \text{ radian} = \frac{\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ \] Vậy góc có số đo $\frac{\pi}{4}$ radian đổi sang độ là $45^\circ$. Đáp án đúng là: D. $45^\circ$. Câu 2: Để tìm giá trị của $\cos\alpha$, ta sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Biết rằng $\sin\alpha = \frac{3}{4}$, ta thay vào công thức trên: \[ \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] Tính bình phương của $\sin\alpha$: \[ \frac{9}{16} + \cos^2\alpha = 1 \] Di chuyển $\frac{9}{16}$ sang phía bên phải: \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} \] Quy đồng mẫu số để trừ hai phân số: \[ \cos^2\alpha = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ \cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \] Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, góc $\alpha$ nằm trong khoảng từ 0 đến $\frac{\pi}{2}$, tức là góc nhọn, do đó $\cos\alpha$ phải dương. Do đó, ta chọn giá trị dương: \[ \cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{7}}{4}$ Câu 3: Để tìm số hạng thứ 10 của dãy số \( u_n = \frac{3n - 9}{4n + 6} \), ta thay \( n = 10 \) vào công thức của dãy số. Bước 1: Thay \( n = 10 \) vào công thức \( u_n \): \[ u_{10} = \frac{3 \times 10 - 9}{4 \times 10 + 6} \] Bước 2: Tính toán tử số: \[ 3 \times 10 - 9 = 30 - 9 = 21 \] Bước 3: Tính toán mẫu số: \[ 4 \times 10 + 6 = 40 + 6 = 46 \] Bước 4: Viết kết quả dưới dạng phân số: \[ u_{10} = \frac{21}{46} \] Vậy số hạng thứ 10 của dãy số là: \[ u_{10} = \frac{21}{46} \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( u_{10} = \frac{21}{46} \) Đáp án: A. \( u_{10} = \frac{21}{46} \) Câu 4: Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với công sai \(d\). Công thức tổng quát của số hạng thứ \(n\) trong cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này cho số hạng thứ 6 (\(u_6\)): \[ u_6 = u_1 + 5d \] Biết rằng \(u_1 = -2\) và \(u_6 = 24\), ta thay vào công thức trên: \[ 24 = -2 + 5d \] Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm \(d\): \[ 24 = -2 + 5d \] \[ 24 + 2 = 5d \] \[ 26 = 5d \] \[ d = \frac{26}{5} \] Vậy đáp án đúng là: B. \(d = \frac{26}{5}\) Câu 5: Để xác định xem một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra xem thương giữa hai số hạng liên tiếp có bằng nhau không. Nếu thương này là hằng số thì dãy số đó là cấp số nhân. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: A. \( u_n = 7 - 3n \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 - 3(n+1)}{7 - 3n} = \frac{7 - 3n - 3}{7 - 3n} = \frac{4 - 3n}{7 - 3n} \] Thương này không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. B. \( u_n = 7 - 3^n \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 - 3^{n+1}}{7 - 3^n} = \frac{7 - 3 \cdot 3^n}{7 - 3^n} \] Thương này cũng không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. C. \( u_n = 7 + 3^n \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 + 3^{n+1}}{7 + 3^n} = \frac{7 + 3 \cdot 3^n}{7 + 3^n} \] Thương này cũng không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. D. \( u_n = 8 \cdot 7^n \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{8 \cdot 7^{n+1}}{8 \cdot 7^n} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 7^n}{8 \cdot 7^n} = 7 \] Thương này là hằng số 7, do đó dãy số này là cấp số nhân. Vậy đáp án đúng là: D. \( u_n = 8 \cdot 7^n \) Câu 6: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n + 2024}{7n^2 - 2025}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$ để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2 - n + 2024}{n^2}}{\frac{7n^2 - 2025}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{2024}{n^2}}{7 - \frac{2025}{n^2}} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng thành phần trong biểu thức: - $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n} + \frac{2024}{n^2}\right) = 1 - 0 + 0 = 1$ - $\lim_{n \to \infty} \left(7 - \frac{2025}{n^2}\right) = 7 - 0 = 7$ Bước 3: Kết hợp các giới hạn đã tính: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{2024}{n^2}}{7 - \frac{2025}{n^2}} = \frac{1}{7} \] Vậy, $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n + 2024}{7n^2 - 2025} = \frac{1}{7}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{7}$. Câu 7: Để tính giới hạn \(\lim_{x \rightarrow -4} \frac{x^2 - 16}{x + 4}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phân thức \(\frac{x^2 - 16}{x + 4}\) có nghĩa là \(x + 4 \neq 0\) hay \(x \neq -4\). Bước 2: Rút gọn phân thức Ta nhận thấy rằng \(x^2 - 16\) là một hiệu hai bình phương, do đó: \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \] Do đó, phân thức có thể được viết lại thành: \[ \frac{x^2 - 16}{x + 4} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} \] Khi \(x \neq -4\), ta có thể rút gọn phân thức này: \[ \frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} = x - 4 \] Bước 3: Tính giới hạn Bây giờ, ta tính giới hạn của biểu thức đã rút gọn khi \(x \rightarrow -4\): \[ \lim_{x \rightarrow -4} (x - 4) = -4 - 4 = -8 \] Vậy, \(\lim_{x \rightarrow -4} \frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8\). Đáp án đúng là: B. -8. Câu 8: Để tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39 học sinh. 2. Xác định vị trí của Q1: Vị trí của Q1 = $\frac{n+1}{4}$ = $\frac{39+1}{4}$ = 10. 3. Xác định khoảng chứa Q1: - Nhóm [0; 2) có 3 học sinh. - Nhóm [2; 4) có 8 học sinh. - Nhóm [4; 6) có 12 học sinh. Vị trí 10 nằm trong nhóm [4; 6). 4. Áp dụng công thức tính Q1: Q1 = $x_{0} + \frac{h}{f} \times (i - b)$ - $x_{0}$ là giới hạn dưới của nhóm chứa Q1: 4. - $h$ là khoảng cách của nhóm: 6 - 4 = 2. - $f$ là tần số của nhóm chứa Q1: 12. - $i$ là vị trí của Q1: 10. - $b$ là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa Q1: 3 + 8 = 11. Q1 = 4 + $\frac{2}{12} \times (10 - 11)$ = 4 + $\frac{2}{12} \times (-1)$ = 4 - $\frac{2}{12}$ = 4 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{24}{6} - \frac{1}{6}$ = $\frac{23}{6}$ = $\frac{169}{24}$ Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{169}{24}$ Câu 9: Trước tiên, ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). - Mặt phẳng (SBC) bao gồm các điểm S, B, và C. - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A, và D. Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chung giữa chúng. Ta thấy rằng điểm S thuộc cả hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). Do đó, giao tuyến sẽ đi qua điểm S. Tiếp theo, ta cần xác định điểm thứ hai trên giao tuyến này. Ta nhận thấy rằng: - Điểm I là giao điểm của AD và BC. - Điểm I nằm trên cả hai đường thẳng AD và BC. Do đó, điểm I cũng thuộc cả hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). Vậy giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng SI. Đáp án đúng là: B. SI