Làm giúp với

Câu 14. a) Ta có: \[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (x - 2) = -2 - 2 = -4. \] Do đó, \(\lim_{x \to -2} f(x) = -4\). b) Ta có: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x - 2) = -1 - 2 = -3. \] Do đó, \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -3\). c) Ta có: \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (\sqrt{x^2 + 1} + m) = \sqrt{(-1)^2 + 1} + m = \sqrt{1 + 1} + m = \sqrt{2} + m. \] Do đó, \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = \sqrt{2} + m\). d) Để hàm số \(f(x)\) có giới hạn tại \(x_0 = -1\), ta cần: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x). \] Từ các kết quả ở trên, ta có: \[ -3 = \sqrt{2} + m. \] Giải phương trình này để tìm \(m\): \[ m = -3 - \sqrt{2}. \] Vậy, khi \(m = -3 - \sqrt{2}\), hàm số đã cho có giới hạn tại \(x_0 = -1\). Câu 15: a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R.$ - Xét phần đầu tiên của hàm số $\frac{4-x^2}{\sqrt{x+2}-2}$: - Điều kiện: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$ - Điều kiện bổ sung: $\sqrt{x+2} \neq 2 \Rightarrow x \neq 2$ - Vậy tập xác định của phần này là $(-2, 2) \cup (2, +\infty)$. - Xét phần thứ hai của hàm số $mx + 8$: - Tập xác định là $(-\infty, 2]$. - Kết hợp hai phần ta có tập xác định của hàm số là $D = (-2, +\infty)$. b) Hàm số liên tục tại $x=7$ với mọi m. - Tại $x = 7$, thuộc miền $x > 2$, ta có: - $f(7) = \frac{4 - 7^2}{\sqrt{7 + 2} - 2} = \frac{4 - 49}{\sqrt{9} - 2} = \frac{-45}{3 - 2} = -45$. - Vì $x = 7$ nằm trong miền $x > 2$, nên hàm số liên tục tại đây với mọi giá trị của $m$. c) Hàm số không liên tục tại $x=0$ với mọi m. - Tại $x = 0$, thuộc miền $x \leq 2$, ta có: - $f(0) = m \cdot 0 + 8 = 8$. - Vì $x = 0$ nằm trong miền $x \leq 2$, nên hàm số liên tục tại đây với mọi giá trị của $m$. Do đó, khẳng định này sai. d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=2.$ khi $m=-12$. - Để hàm số liên tục tại $x = 2$, ta cần: - Giới hạn bên trái: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = m \cdot 2 + 8 = 2m + 8$. - Giới hạn bên phải: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{4 - x^2}{\sqrt{x + 2} - 2}$. - Ta tính giới hạn bên phải: - Nhân lượng liên hợp: $\lim_{x \to 2^+} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{(\sqrt{x + 2} - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x + 2 - 4} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x - 2}$. - Thay $x = 2$: $\lim_{x \to 2^+} \frac{(4 - 4)(\sqrt{4} + 2)}{2 - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{0 \cdot 4}{0} = 0$. - Để hàm số liên tục tại $x = 2$, ta cần $2m + 8 = 0 \Rightarrow m = -4$. Vậy đáp án đúng là d) $m = -4$. Câu 16: a) Ta có $2MA = SM$, suy ra $\frac{MA}{SA} = \frac{1}{3}$. Từ O dựng đường thẳng d song song với SA, cắt MN tại E. Ta có $\frac{OE}{MA} = \frac{OE}{SA} \times \frac{SA}{MA} = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$. b) Ta có $3ON = SO$, suy ra $\frac{ON}{OS} = \frac{1}{3}$. Gọi $F = MN \cap AC$. Ta có $\frac{AF}{AC} = \frac{AF}{FC} \times \frac{FC}{AC} = \frac{ON}{OS} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$. c) Ta có $MN // SC$ vì $MN$ và $SC$ cùng song song với $d$. d) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác SCD, suy ra $\frac{SG}{GD} = \frac{2}{1}$. Gọi $K = SD \cap (GMN)$. Ta có $\frac{SK}{KD} = \frac{SG}{GD} \times \frac{GD}{KD} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.