Làm hộ với

Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = \sin x$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của biến số $x$ mà hàm số có nghĩa. Hàm số $y = \sin x$ được xác định cho mọi giá trị thực của $x$. Do đó, tập xác định của hàm số này là tập số thực $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: A. $\mathbb{R}$ Câu 2. Phương trình $\cos x = 0$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng 0. Các giá trị của $x$ thỏa mãn $\cos x = 0$ là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, tập nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ là: \[ \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$ Câu 3. Để tìm số hạng thứ 8 của cấp số cộng $(u_n)$, ta cần biết công sai $d$ của cấp số cộng này. Bước 1: Xác định công sai $d$ Công sai $d$ của cấp số cộng được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất: \[ d = u_2 - u_1 = 6 - 3 = 3 \] Bước 2: Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng Số hạng tổng quát của cấp số cộng được cho bởi công thức: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó, $u_1$ là số hạng đầu tiên, $d$ là công sai, và $n$ là số thứ tự của số hạng. Bước 3: Tìm số hạng thứ 8 Thay $u_1 = 3$, $d = 3$, và $n = 8$ vào công thức trên: \[ u_8 = 3 + (8-1) \cdot 3 = 3 + 7 \cdot 3 = 3 + 21 = 24 \] Vậy số hạng thứ 8 của cấp số cộng là 24. Đáp án đúng là: D. 24. Câu 4. Để tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_n)$ với $u_n = 2^n$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân. - Số hạng đầu tiên là $u_1 = 2^1 = 2$. - Công bội của cấp số nhân là $q = 2$ (vì mỗi số hạng tiếp theo gấp đôi số hạng trước đó). Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Trong đó: - $S_n$ là tổng n số hạng đầu tiên. - $u_1$ là số hạng đầu tiên. - $q$ là công bội. - $n$ là số lượng số hạng. Áp dụng vào bài toán: \[ S_{10} = 2 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} \] \[ S_{10} = 2 \cdot (2^{10} - 1) \] \[ S_{10} = 2 \cdot (1024 - 1) \] \[ S_{10} = 2 \cdot 1023 \] \[ S_{10} = 2046 \] Bước 3: So sánh kết quả với các đáp án đã cho. - Đáp án A: $2 - 2^{11}$ - Đáp án B: $2^{11} - 1$ - Đáp án C: $2^{11} - 2$ - Đáp án D: $2^{11}$ Ta thấy rằng $2046 = 2^{11} - 2$. Do đó, đáp án đúng là: Đáp án: C. $2^{11} - 2$. Câu 5. Để tìm dãy số có giới hạn bằng 0, ta xét giới hạn của mỗi dãy số khi \( n \to \infty \). A. \( u_n = \frac{n^2 - 2}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{1 - \frac{2}{n^2}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3} \neq 0 \] B. \( u_n = \frac{n^2 - 2n}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2n}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{1 - \frac{2}{n}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3} \neq 0 \] C. \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{2n}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 - 0}{0 + 3} = 0 \] D. \( u_n = \frac{1 - 2n^2}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{2n^2}{n^2}}{\frac{5n}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n^2} - 2}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 - 2}{0 + 3} = -\frac{2}{3} \neq 0 \] Vậy dãy số có giới hạn bằng 0 là: C. \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \) Đáp án đúng là: C. \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \) Câu 6. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow5}\frac{x^2-12x+35}{25-5x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phân thức $\frac{x^2-12x+35}{25-5x}$ có mẫu số là $25 - 5x$. Để phân thức này có nghĩa, ta cần: \[ 25 - 5x \neq 0 \] \[ 5(5 - x) \neq 0 \] \[ x \neq 5 \] Bước 2: Rút gọn phân thức Ta thấy rằng tử số $x^2 - 12x + 35$ có thể được phân tích thành nhân tử: \[ x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7) \] Do đó, phân thức trở thành: \[ \frac{(x - 5)(x - 7)}{5(5 - x)} \] Bước 3: Thay vào giới hạn Khi $x \to 5$, ta thay vào phân thức đã rút gọn: \[ \lim_{x\rightarrow5} \frac{(x - 5)(x - 7)}{5(5 - x)} \] Chú ý rằng $(5 - x) = -(x - 5)$, do đó: \[ \frac{(x - 5)(x - 7)}{5(5 - x)} = \frac{(x - 5)(x - 7)}{-5(x - 5)} = -\frac{x - 7}{5} \] Bước 4: Tính giới hạn \[ \lim_{x\rightarrow5} -\frac{x - 7}{5} = -\frac{5 - 7}{5} = -\frac{-2}{5} = \frac{2}{5} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{2}{5}$ Câu 7. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{x\rightarrow1}\frac{1-2x}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét giới hạn của tử và mẫu khi \( x \to 1 \): - Tử số: \( 1 - 2x \) Khi \( x \to 1 \), \( 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1 \). - Mẫu số: \( x - 1 \) Khi \( x \to 1 \), \( 1 - 1 = 0 \). 2. Xét giới hạn của biểu thức phân thức: - Biểu thức có dạng \(\frac{-1}{0}\). - Khi \( x \to 1^+ \) (tức là \( x \) tiến đến 1 từ bên phải), mẫu số \( x - 1 \) sẽ tiến đến 0 dương (\(0^+\)). - Khi \( x \to 1^- \) (tức là \( x \) tiến đến 1 từ bên trái), mẫu số \( x - 1 \) sẽ tiến đến 0 âm (\(0^-\)). 3. Xác định giới hạn hai bên: - Khi \( x \to 1^+ \): \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{1 - 2x}{x - 1} = \frac{-1}{0^+} = -\infty \] - Khi \( x \to 1^- \): \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{1 - 2x}{x - 1} = \frac{-1}{0^-} = +\infty \] 4. Kết luận: - Vì giới hạn từ bên phải và bên trái không giống nhau, nên giới hạn của biểu thức khi \( x \to 1 \) không tồn tại. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng biểu thức tiến đến \(-\infty\) khi \( x \to 1^+ \). Do đó, đáp án đúng là: B. $-\infty$ Câu 8. Để kiểm tra tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \), ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. \( f(2) \) tồn tại. 2. \( \lim_{x \to 2} f(x) \) tồn tại. 3. \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \). Trước tiên, ta thấy rằng \( f(2) = 4 \). Vậy điều kiện thứ nhất đã thỏa mãn. Tiếp theo, ta tính giới hạn \( \lim_{x \to 2} f(x) \) khi \( x \neq 2 \): \[ f(x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}. \] Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{(\sqrt{x + 2} - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x + 2 - 4} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x - 2}. \] Khi \( x \neq 2 \), ta có thể giản ước \( x - 2 \) ở tử và mẫu: \[ f(x) = \sqrt{x + 2} + 2. \] Bây giờ, ta tính giới hạn khi \( x \to 2 \): \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 2} + 2) = \sqrt{2 + 2} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4. \] Vậy \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \). Cuối cùng, ta so sánh giới hạn này với giá trị của hàm số tại điểm \( x = 2 \): \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2). \] Do đó, hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 2 \). Vậy mệnh đề đúng là: A. Hàm số liên tục tại \( x = 2 \). Đáp án: A. Hàm số liên tục tại \( x = 2 \). Câu 9. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK), ta cần xác định đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng này. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: - Điểm J thuộc cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) vì J là trung điểm của BC và nằm trên cả hai mặt phẳng. - Mặt phẳng (ABD) bao gồm các điểm A, B, D. - Mặt phẳng (IJK) bao gồm các điểm I, J, K. Ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. Đường thẳng qua K song song với AB: - K là trung điểm của BD, nhưng không có thông tin nào cho thấy K nằm trên mặt phẳng (ABD). Do đó, lựa chọn này không đúng. B. Đường thẳng qua I song song với AD: - I là trung điểm của AC, nhưng không có thông tin nào cho thấy I nằm trên mặt phẳng (ABD). Do đó, lựa chọn này không đúng. C. Đường thẳng qua J song song với AC: - J là trung điểm của BC, và J nằm trên cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK). Tuy nhiên, AC không nằm trong mặt phẳng (ABD), do đó lựa chọn này không đúng. D. Đường thẳng qua J song song với CD: - J là trung điểm của BC, và J nằm trên cả hai mặt phẳng (ABD) và (IJK). Ta cần kiểm tra xem CD có song song với đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD) không. - Vì J là trung điểm của BC, đường thẳng qua J song song với CD sẽ nằm trong mặt phẳng (ABD) và (IJK). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) là đường thẳng qua J song song với CD. Đáp án: D. đường thẳng qua J song song với CD. Câu 10. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các đường thẳng AB', B'D', và D'A' nằm trên mặt phẳng (AB'D'). Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xác định mặt phẳng nào song song với (AB'D'): - Mặt phẳng (A'OC'): Điểm O nằm trên đường thẳng AC, điểm O' nằm trên đường thẳng A'C'. Vì vậy, mặt phẳng này không song song với (AB'D'). - Mặt phẳng (BDA'): Điểm B, D, và A' đều nằm trên các cạnh của hình hộp. Ta cần kiểm tra xem các đường thẳng này có tạo thành mặt phẳng song song với (AB'D') hay không. Ta thấy rằng đường thẳng BD nằm trên mặt phẳng (ABCD), và đường thẳng DA' nằm trên mặt phẳng (ADD'A'). Do đó, mặt phẳng (BDA') không song song với (AB'D'). - Mặt phẳng (BDC'): Điểm B, D, và C' đều nằm trên các cạnh của hình hộp. Ta cần kiểm tra xem các đường thẳng này có tạo thành mặt phẳng song song với (AB'D') hay không. Ta thấy rằng đường thẳng BD nằm trên mặt phẳng (ABCD), và đường thẳng DC' nằm trên mặt phẳng (DD'C'C). Do đó, mặt phẳng (BDC') không song song với (AB'D'). - Mặt phẳng (BCD): Điểm B, C, và D đều nằm trên các cạnh của hình hộp. Ta cần kiểm tra xem các đường thẳng này có tạo thành mặt phẳng song song với (AB'D') hay không. Ta thấy rằng đường thẳng BC nằm trên mặt phẳng (ABCD), và đường thẳng CD nằm trên mặt phẳng (ABCD). Do đó, mặt phẳng (BCD) không song song với (AB'D'). Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng mặt phẳng (BDA') có thể song song với (AB'D') vì cả hai mặt phẳng này đều chứa các đường thẳng song song với nhau. Cụ thể, đường thẳng AB' và B'D' nằm trên mặt phẳng (AB'D'), và đường thẳng BD và DA' nằm trên mặt phẳng (BDA'). Vì vậy, mặt phẳng (BDA') song song với (AB'D'). Do đó, đáp án đúng là: B. $(BDA')$. Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp có thể xảy ra khi hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) được chiếu song song lên mặt phẳng \((P)\). 1. Hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\): - Hai đường thẳng chéo nhau không nằm trên cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. 2. Phép chiếu song song lên mặt phẳng \((P)\): - Khi chiếu song song, mỗi điểm trên đường thẳng \(a\) và \(b\) sẽ được chiếu lên một điểm tương ứng trên mặt phẳng \((P)\). Kết quả là hai đường thẳng mới \(a'\) và \(b'\) trên mặt phẳng \((P)\). 3. Xét các trường hợp của \(a'\) và \(b'\): - Trường hợp 1: \(a'\) và \(b'\) cắt nhau. - Điều này có thể xảy ra nếu các đường thẳng \(a\) và \(b\) được chiếu sao cho các hình chiếu của chúng cắt nhau trên mặt phẳng \((P)\). - Trường hợp 2: \(a'\) và \(b'\) song song. - Điều này cũng có thể xảy ra nếu các đường thẳng \(a\) và \(b\) được chiếu sao cho các hình chiếu của chúng song song trên mặt phẳng \((P)\). - Trường hợp 3: \(a'\) và \(b'\) trùng nhau. - Điều này không thể xảy ra vì \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Do đó, các hình chiếu của chúng không thể trùng nhau trên mặt phẳng \((P)\). Từ các trường hợp trên, chúng ta thấy rằng: - \(a'\) và \(b'\) có thể cắt nhau. - \(a'\) và \(b'\) có thể song song. - \(a'\) và \(b'\) không thể trùng nhau. Do đó, mệnh đề đúng là: D. \(a'\) và \(b'\) có thể cắt nhau hoặc song song với nhau. Đáp án: D. \(a'\) và \(b'\) có thể cắt nhau hoặc song song với nhau. Câu 12. Để tính chiều cao trung bình của học sinh khối 11, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính trung bình cộng của dãy số có phân bố tần số. Bước 1: Xác định trung điểm của mỗi khoảng chiều cao: - Trung điểm của [150; 154) là $\frac{150 + 154}{2} = 152$ - Trung điểm của [154; 158) là $\frac{154 + 158}{2} = 156$ - Trung điểm của [158; 162) là $\frac{158 + 162}{2} = 160$ - Trung điểm của [162; 166) là $\frac{162 + 166}{2} = 164$ - Trung điểm của [166; 170) là $\frac{166 + 170}{2} = 168$ Bước 2: Tính tổng của tích giữa trung điểm và tần số của mỗi khoảng: - $152 \times 8 = 1216$ - $156 \times 18 = 2808$ - $160 \times 40 = 6400$ - $164 \times 26 = 4264$ - $168 \times 8 = 1344$ Bước 3: Tính tổng các giá trị đã nhân ở bước 2: \[ 1216 + 2808 + 6400 + 4264 + 1344 = 16032 \] Bước 4: Tính tổng số học sinh: \[ N = 100 \] Bước 5: Tính chiều cao trung bình: \[ \text{Chiều cao trung bình} = \frac{16032}{100} = 160.32 \] Vậy chiều cao trung bình của học sinh khối 11 là 160.32 cm. Đáp án đúng là: C. 160.32