tam giác ABC vuông cân tại A trung tuyến BD Kẻ AI vuông góc với BD cắt BC ở E.Chứng minh EB = 2 EC EC

Trước tiên, ta nhận thấy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó AB = AC và góc BAC = 90°. Trung tuyến BD chia cạnh AC thành hai phần bằng nhau, tức là AD = DC. Khi kẻ AI vuông góc với BD, ta có góc BAI = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A nên góc BAC = 90° và góc ABI = 45°). Do đó, tam giác ABE là tam giác vuông cân tại A, tức là AB = AE và góc AEB = 45°. Bây giờ, ta xét tam giác BDE. Vì BD là trung tuyến của tam giác ABC, nên BD cũng là đường cao của tam giác BDE (do AI vuông góc với BD). Do đó, tam giác BDE là tam giác vuông tại D, và góc BDE = 45° (vì góc BDA = 45° và góc ADE = 45°). Vậy tam giác BDE là tam giác vuông cân tại D, tức là BD = DE và góc DBE = 45°. Cuối cùng, ta xét tam giác BCE. Vì góc BDE = 45° và góc DBE = 45°, nên góc CBE = 90° - 45° = 45°. Do đó, tam giác BCE là tam giác vuông cân tại E, tức là BE = CE và góc BEC = 45°. Vậy EB = 2EC. Đáp số: EB = 2EC.