Giúp mình với! Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB.Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn , kẻ tia tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn O . a.Chứng minh rằng M...

a) Do $E$ đối xứng với $A$ qua $O M$ nên $M A=M E ; O A=O E$

Xét $\triangle M A O$ và $\triangle M E O$ có:

$
\left.\begin{array}{l}
M A=M E(c m t) \\
O A=O E(c m t) \\
M O \text { chung }
\end{array}\right\} \Rightarrow \triangle M A O=\triangle M E O(c . c . c) \Rightarrow \widehat {M A O }=\widehat {M E O } \text { (1) (hai góc t /ứ )  }
$
$A x$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O) \Rightarrow A x \perp A B \Rightarrow \angle M A B=90^{\circ}$ hay $\widehat {M A O }=90^{\circ}$ (2) 

Từ (1) và (2), suy ra $\widehat {M E O }=90^{\circ}$ mà $E \in(O)$

Do đó $M E$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
b) $A M, E M$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O) \Rightarrow M I$ là phân giác của $\widehat {A M E }$ (3) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: $A, E$ đối xứng với nhau qua $O M \Rightarrow O M$ là đường trung trực của đoạn $A E$
Mà $I \in O M \Rightarrow I A=I E$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Lại có: $M A$ là tiếp tuyến của $(O)$

$
\Rightarrow \widehat {M A I }=\widehat {I E A }=\widehat {I A E }
$

$\Rightarrow A I$ là phân giác của $\widehat { M A E }$ (4)
Từ (3) và (4), suy ra $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle A M E$.

c) Ta có: $O E=O B$ (bán kính đường tròn $(O)) \Rightarrow \triangle O B E$ cân tại $O$ mà $N$ là trung điểm của $B E \Rightarrow O N \perp B E \Rightarrow O P \perp B E$ (vì $O, N, P$ thẳng hàng)

Ta có: $E \in(O) \Rightarrow \widehat {A E B }=90^{\circ} \Rightarrow A E \perp E B$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}B E \perp O P \\ B E \perp A E\end{array} \Rightarrow O P / / A E\right.$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
$M O$ là đường trung trực của đoạn $A E \Rightarrow M O \perp A E$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}O P / / A E \\ M O \perp A E\end{array} \Rightarrow M O \perp O P\right.$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
$\Rightarrow \widehat {M O P }=90^{\circ}$ nên $\triangle M O P$ vuông tại $O$
$\triangle M O P$ vuông tại $O$ có $O E \perp M P$ (do $M E$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ )
$\Rightarrow M P . E P=O E^2=R^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\Rightarrow S_{\triangle O M P}=\frac{1}{2} O E . M P=\frac{1}{2} R .(M E+E P) \geq \frac{1}{2} R .2 \sqrt{M E . E P}=\frac{1}{2} R .2 R=R^2$
Dấu "=" xảy ra khi $M E=E P=R \Rightarrow \triangle M E O$ vuông cân tại

$
E \Rightarrow O M=R \sqrt{2}=O A \sqrt{2} \Rightarrow M A=R
$

d) Gọi $F$ là giao điểm của $Q D, A B$
$G$ là giao điểm của $A E, B P$

Ta có: $O P / / A E(\perp B E), O$ là trung điềm của $A B$
$\Rightarrow O P$ là đường trung bình của tam giác $A B G$
$\Rightarrow P$ là trung điềm của $B G$

$
\Rightarrow P G=P B
$
Ta có: $C$ là giao điềm của $B E, A M$
Chứng minh tương tự, ta có được $M$ là trung điểm của $A C \Rightarrow M A=M C$
Lại có: $Q F / / A C$

$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \frac{Q D}{M C}=\frac{O D}{O M}=\frac{D F}{M A} \\
& \Rightarrow Q D=D F
\end{aligned}
$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của $Q F$
Ta có: $Q F / / B G(\perp A B)$

$
\frac{A F}{A B}=\frac{Q F}{G B}=\frac{2 D F}{2 B P}=\frac{D F}{B F}
$
Lại có: $\widehat {A F D }=\widehat {A B P }\left(=90^{\circ}\right)$
$\Rightarrow A, D, P$ thẳng hàng