hhhhjhhhhhhhhhh

Câu 10: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là giao điểm của các đường chéo AC và BD, và nó cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (SDM). Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: A. Giao điểm của hai đường thẳng AB và SD: - Đường thẳng SD nằm trong mặt phẳng (SDM). Tuy nhiên, đường thẳng AB không nằm trong mặt phẳng (SDM) vì AB không cắt SD tại một điểm nào khác ngoài đỉnh S. Do đó, AB và SD không thể có giao điểm trong mặt phẳng (SDM). B. Giao điểm của hai đường thẳng AB và SO: - Đường thẳng SO nằm trong mặt phẳng (SDM) vì O là tâm của hình bình hành ABCD và S là đỉnh của chóp. Tuy nhiên, đường thẳng AB không nằm trong mặt phẳng (SDM) vì AB không cắt SO tại một điểm nào khác ngoài đỉnh S. Do đó, AB và SO không thể có giao điểm trong mặt phẳng (SDM). C. Giao điểm của hai đường thẳng AB và DM: - Đường thẳng DM nằm trong mặt phẳng (SDM). Tuy nhiên, đường thẳng AB không nằm trong mặt phẳng (SDM) vì AB không cắt DM tại một điểm nào khác ngoài đỉnh S. Do đó, AB và DM không thể có giao điểm trong mặt phẳng (SDM). D. Giao điểm của hai đường thẳng AB và SM: - Đường thẳng SM nằm trong mặt phẳng (SDM). Đường thẳng AB cũng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Vì vậy, giao điểm của AB và SM sẽ nằm trong cả hai mặt phẳng (SDM) và (ABCD). Do đó, giao điểm của AB và SM sẽ nằm trong mặt phẳng (SDM). Vậy đáp án đúng là D. Giao điểm của hai đường thẳng AB và SM. Câu 11: Để phương trình $\sin x = m + 1$ có nghiệm, ta cần đảm bảo rằng giá trị của $m + 1$ nằm trong khoảng giá trị của hàm sin, tức là từ -1 đến 1. Bước 1: Xác định điều kiện của $m + 1$: \[ -1 \leq m + 1 \leq 1 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ -1 \leq m + 1 \leq 1 \] Trừ 1 từ tất cả các thành phần của bất phương trình: \[ -1 - 1 \leq m + 1 - 1 \leq 1 - 1 \] \[ -2 \leq m \leq 0 \] Vậy, phương trình $\sin x = m + 1$ có nghiệm khi $m$ thuộc khoảng $[-2, 0]$. Đáp án đúng là: B. $-2 \leq m \leq 0$. Câu 12: Để tính $\cos 2\alpha$, ta sử dụng công thức nhân đôi: \[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \] Biết rằng $\cos \alpha = \frac{2}{3}$, ta thay vào công thức trên: \[ \cos 2\alpha = 2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 1 \] Tính bình phương của $\frac{2}{3}$: \[ \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Thay vào công thức: \[ \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{9} - 1 = \frac{8}{9} - 1 \] Chuyển 1 sang dạng phân số có mẫu số là 9: \[ 1 = \frac{9}{9} \] Tiếp tục thực hiện phép trừ: \[ \cos 2\alpha = \frac{8}{9} - \frac{9}{9} = \frac{8 - 9}{9} = \frac{-1}{9} \] Vậy giá trị của $\cos 2\alpha$ là: \[ \cos 2\alpha = -\frac{1}{9} \] Do đó, đáp án đúng là: B. $-\frac{1}{9}$. Câu 13: Hình chóp tứ giác có đáy là một tứ giác, tức là có 4 đỉnh ở đáy. Trên đỉnh chóp có thêm 1 đỉnh nữa. Như vậy, tổng cộng có 5 đỉnh. Mỗi đỉnh đáy nối với đỉnh chóp tạo thành 1 cạnh bên. Vì có 4 đỉnh đáy nên sẽ có 4 cạnh bên. Ngoài ra, các đỉnh đáy còn tạo thành các cạnh đáy của hình chóp. Tứ giác có 4 cạnh, nên có 4 cạnh đáy. Tổng số cạnh của hình chóp tứ giác là: Số cạnh bên + Số cạnh đáy = 4 + 4 = 8 Vậy hình chóp tứ giác có tất cả 8 cạnh. Đáp án đúng là: A. 8. Câu 14: Phương trình $\sin x = -1$ có nghiệm là: A. $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$ B. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.$ C. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$ D. $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}.$ Lập luận từng bước: 1. Xác định giá trị của $\sin x$: - Ta biết rằng $\sin x = -1$ tại các điểm $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$, trong đó $k$ là số nguyên ($k \in \mathbb{Z}$). 2. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A đúng vì $\sin x = -1$ tại $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$. - Đáp án B sai vì $\sin x = 1$ tại $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. - Đáp án C sai vì $\sin x = 1$ tại $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$. - Đáp án D sai vì $\sin x = 0$ tại $x = k\pi$. Vậy phương trình $\sin x = -1$ có nghiệm là $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$. Đáp án đúng là: A. $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$ Câu 15: Để tìm số thực \( a \) sao cho \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{an^2-2n}{9n^2+4}=\frac{2}{3}\), ta làm như sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( n^2 \): \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{an^2-2n}{n^2}}{\frac{9n^2+4}{n^2}} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a - \frac{2}{n}}{9 + \frac{4}{n^2}} \] Bước 2: Tính giới hạn của mỗi thành phần trong phân thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty} \left( a - \frac{2}{n} \right) = a - 0 = a \] \[ \lim_{n\rightarrow+\infty} \left( 9 + \frac{4}{n^2} \right) = 9 + 0 = 9 \] Bước 3: Kết hợp lại ta có: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a - \frac{2}{n}}{9 + \frac{4}{n^2}} = \frac{a}{9} \] Bước 4: Đặt giới hạn này bằng \(\frac{2}{3}\): \[ \frac{a}{9} = \frac{2}{3} \] Bước 5: Giải phương trình để tìm \( a \): \[ a = 9 \times \frac{2}{3} = 6 \] Vậy số thực \( a \) cần tìm là \( a = 6 \). Đáp án đúng là: A. \( a = 6 \). Câu 16: Để giải phương trình $2\cos2x - 1 = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình đã cho là phương trình lượng giác, không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể. 2. Giải phương trình: Ta có phương trình: \[ 2\cos2x - 1 = 0 \] Chuyển vế để đơn giản hóa: \[ 2\cos2x = 1 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \cos2x = \frac{1}{2} \] 3. Xác định các giá trị của $2x$: Biết rằng $\cos2x = \frac{1}{2}$, ta có: \[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 4. Xác định các giá trị của $x$: Chia cả hai vế cho 2: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 5. Xác định các giá trị của $x$ nằm trong đoạn $[0; 2\pi]$: Ta xét các giá trị của $k$ sao cho $x$ nằm trong đoạn $[0; 2\pi]$: - Khi $k = 0$: \[ x = \frac{\pi}{6}, \quad x = -\frac{\pi}{6} \quad (\text{loại vì } -\frac{\pi}{6} < 0) \] - Khi $k = 1$: \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \] - Khi $k = 2$: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \quad (\text{loại vì } \frac{13\pi}{6} > 2\pi), \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \] Như vậy, các giá trị của $x$ nằm trong đoạn $[0; 2\pi]$ là: \[ x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6}, \quad x = \frac{7\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6} \] 6. Kết luận: Số nghiệm của phương trình $2\cos2x - 1 = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là 4. Đáp án đúng là: A. 4. Câu 17: Để xác định một mặt phẳng, chúng ta cần dựa vào các yếu tố sau: A. Bốn điểm phân biệt: - Không phải bốn điểm phân biệt nào cũng xác định được một mặt phẳng. Chỉ cần ba trong bốn điểm đó nằm trên cùng một đường thẳng thì bốn điểm đó sẽ không xác định được một mặt phẳng duy nhất. Do đó, lựa chọn này không đúng. B. Một điểm và một đường thẳng: - Một điểm và một đường thẳng không xác định được một mặt phẳng duy nhất. Có thể có nhiều mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng. Do đó, lựa chọn này không đúng. C. Hai đường thẳng cắt nhau: - Hai đường thẳng cắt nhau xác định được một mặt phẳng duy nhất. Vì hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc và tất cả các điểm nằm trên hai đường thẳng này đều nằm trên cùng một mặt phẳng. Do đó, lựa chọn này đúng. D. Ba điểm phân biệt: - Ba điểm phân biệt xác định được một mặt phẳng duy nhất. Vì ba điểm phân biệt không thẳng hàng sẽ tạo thành một tam giác, và tất cả các điểm nằm trên tam giác này đều nằm trên cùng một mặt phẳng. Do đó, lựa chọn này đúng. Tóm lại, các yếu tố xác định một mặt phẳng là: - C. Hai đường thẳng cắt nhau. - D. Ba điểm phân biệt. Đáp án: C và D. Câu 18: Để xác định khoảng liên tục của hàm số \( f(x) = \frac{2x}{x^2 - 3x + 2} \), ta cần tìm các điểm mà tại đó mẫu số bằng không vì những điểm này sẽ làm cho hàm số không xác định. Bước 1: Tìm các giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng không: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Bước 2: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] Như vậy, hàm số \( f(x) = \frac{2x}{x^2 - 3x + 2} \) không xác định tại \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Bước 4: Xác định khoảng liên tục của hàm số: Hàm số liên tục trên tất cả các khoảng không chứa các điểm \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Do đó, hàm số liên tục trên các khoảng: \[ (-\infty, 1), (1, 2), (2, +\infty) \] Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có khoảng \( (-2, 0) \) nằm trong khoảng liên tục của hàm số. Vậy đáp án đúng là: D. \( (-2, 0) \) Câu 19: Trước tiên, ta xét tính chất của tứ diện ABCD và các điểm M, N. - M là trung điểm của AB, tức là M chia AB thành hai đoạn thẳng bằng nhau. - N là trung điểm của AC, tức là N chia AC thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: - Trong tam giác ABC, đoạn thẳng MN là đường trung bình nối giữa hai trung điểm của hai cạnh AB và AC. Do đó, ta có: \[ MN // BC \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( MN // (BCD) \) - Để \( MN // (BCD) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng (BCD). Tuy nhiên, MN chỉ song song với BC nằm trong mặt phẳng (ABC), không phải là mặt phẳng (BCD). Do đó, khẳng định này sai. B. MN cắt (BCD) - Đoạn thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABC) và song song với BC. Mặt phẳng (ABC) và (BCD) chia cắt nhau theo đường thẳng BC. Vì vậy, MN không thể cắt (BCD) vì nó nằm hoàn toàn trong (ABC). Do đó, khẳng định này sai. C. \( MN // (ABC) \) - Đoạn thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABC), do đó nó không thể song song với chính mặt phẳng của nó. Do đó, khẳng định này sai. D. \( MN // (ABD) \) - Đoạn thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABC) và song song với BC. Mặt phẳng (ABC) và (ABD) chia cắt nhau theo đường thẳng AB. Vì vậy, MN không thể song song với mặt phẳng (ABD) vì nó nằm hoàn toàn trong (ABC). Do đó, khẳng định này sai. Tuy nhiên, ta đã thấy rằng MN song song với BC, và BC nằm trong cả hai mặt phẳng (ABC) và (BCD). Do đó, MN nằm trong mặt phẳng (ABC) và song song với BC, nhưng không nằm trong mặt phẳng (ABD). Vậy khẳng định đúng là: \[ MN // BC \] Nhưng trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào đúng hoàn toàn. Tuy nhiên, nếu phải chọn một trong các lựa chọn, ta có thể chọn: \[ MN // BC \] Nhưng trong ngữ cảnh của câu hỏi, không có lựa chọn nào đúng hoàn toàn. Câu 20: Trong không gian, nếu hai đường thẳng song song a và b, thì có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b. Lập luận từng bước: 1. Điều kiện ban đầu: Ta có hai đường thẳng song song a và b. 2. Mặt phẳng chứa đường thẳng a: Ta có thể vẽ nhiều mặt phẳng khác nhau chứa đường thẳng a. 3. Mặt phẳng song song với đường thẳng b: Vì a và b song song, nên bất kỳ mặt phẳng nào chứa a cũng sẽ song song với b. Do đó, có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b. Đáp án đúng là: C. Vô số. Câu 21: Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là: \[ d = u_2 - u_1 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \] Vậy đáp án đúng là: C. $d = 4$