fgngghjkjkkhkvhhbn

Câu 1. Trước tiên, ta biết rằng $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Điều này có nghĩa là góc $\alpha$ nằm trong khoảng từ $\frac{\pi}{2}$ đến $\pi$, tức là ở phần thứ hai của vòng tròn đơn vị. a) Ta cần kiểm tra xem $\tan\alpha < 0$ có đúng hay không. - Trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\sin\alpha > 0$ và $\cos\alpha < 0$. Do đó, $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} < 0$. - Vậy mệnh đề a) là đúng. b) Ta cần kiểm tra xem $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có đúng hay không. - Biết rằng $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, ta thay $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ vào: \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \sin^2\alpha = 1 \] \[ \frac{1}{4} + \sin^2\alpha = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \sin\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Vì $\alpha$ nằm trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, nên $\sin\alpha > 0$. Do đó, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Vậy mệnh đề b) là đúng. c) Ta cần kiểm tra xem $\sin(\pi - \alpha) = -\frac{1}{2}$ có đúng hay không. - Theo tính chất của sin, ta có $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. - Từ phần b), ta đã biết $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Vậy $\sin(\pi - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, không phải $-\frac{1}{2}$. - Vậy mệnh đề c) là sai. d) Ta cần kiểm tra xem $\sin(2\alpha) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ có đúng hay không. - Theo công thức nhân đôi, ta có $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. - Thay $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ vào: \[ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] - Vậy mệnh đề d) là đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 2. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tìm số hạng đầu của cấp số nhân Cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$. Ta biết rằng: \[ u_2 = 18 \] \[ u_3 = 36 \] Ta có: \[ u_3 = u_2 \cdot q \] Thay giá trị của $u_2$ và $u_3$ vào: \[ 36 = 18 \cdot q \] Giải phương trình này để tìm $q$: \[ q = \frac{36}{18} = 2 \] Bây giờ, ta biết công bội $q = 2$. Để tìm số hạng đầu $u_1$, ta sử dụng: \[ u_2 = u_1 \cdot q \] Thay giá trị của $u_2$ và $q$ vào: \[ 18 = u_1 \cdot 2 \] Giải phương trình này để tìm $u_1$: \[ u_1 = \frac{18}{2} = 9 \] Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là 9. b) Tìm công bội của cấp số nhân Trên đây, ta đã tìm được công bội $q = 2$. c) Tính tổng của 9 số hạng đầu tiên Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được tính bằng công thức: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Ở đây, $u_1 = 9$, $q = 2$, và $n = 9$. Thay các giá trị này vào công thức: \[ S_9 = 9 \cdot \frac{2^9 - 1}{2 - 1} \] Tính $2^9$: \[ 2^9 = 512 \] Do đó: \[ S_9 = 9 \cdot \frac{512 - 1}{1} = 9 \cdot 511 = 4599 \] Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên là 4599. d) Kiểm tra số 576 có phải là số hạng thứ 6 của cấp số nhân Số hạng thứ $n$ của một cấp số nhân được tính bằng công thức: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Ở đây, $u_1 = 9$, $q = 2$, và $n = 6$. Thay các giá trị này vào công thức: \[ u_6 = 9 \cdot 2^{6-1} = 9 \cdot 2^5 \] Tính $2^5$: \[ 2^5 = 32 \] Do đó: \[ u_6 = 9 \cdot 32 = 288 \] Vì 288 không bằng 576, nên số 576 không phải là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Kết luận a) Số hạng đầu của cấp số nhân là 9. b) Công bội của cấp số nhân là 2. c) Tổng của 9 số hạng đầu tiên là 4599. d) Số 576 không phải là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Câu 3. a) Ta xét giới hạn $\lim_{x\rightarrow-5}\frac{x^2+2x-15}{x+5}$. Ta thấy rằng khi $x \to -5$, mẫu số $x + 5 \to 0$. Ta phân tích tử số: \[ x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3). \] Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow-5}\frac{x^2+2x-15}{x+5} = \lim_{x\rightarrow-5}\frac{(x+5)(x-3)}{x+5} = \lim_{x\rightarrow-5}(x-3) = -5 - 3 = -8. \] Vậy mệnh đề này sai vì giới hạn là $-8$, không phải $+\infty$. b) Ta xét giới hạn $\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{\frac{2x}{x+3}}$. Ta chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{\frac{2x}{x+3}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{\frac{2}{1+\frac{3}{x}}} = \sqrt{\frac{2}{1+0}} = \sqrt{2}. \] Vậy mệnh đề này đúng. c) Ta đã chứng minh ở phần a) rằng: \[ \lim_{x\rightarrow-5}\frac{x^2+2x-15}{x+5} = -8. \] Vậy mệnh đề này đúng. d) Ta xét giới hạn $\lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{|x+1|}{x^2-1}$. Khi $x \to -1^-$, ta có $|x+1| = -(x+1)$ và $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$. Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{|x+1|}{x^2-1} = \lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{-(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{-1}{x-1}. \] Khi $x \to -1^-$, ta có $x - 1 \to -2$, do đó: \[ \lim_{x\rightarrow-1^-}\frac{-1}{x-1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}. \] Vậy mệnh đề này sai vì giới hạn là $\frac{1}{2}$, không phải $-\infty$. Đáp số: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 4: a) Ta có E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC nên EF // BC. Mà BC nằm trong mặt phẳng (ABC) nên EF // (ABC). Tương tự, MF // AD và MF // (ABC). Vậy (EFM) // (ABC). b) Ta có EN // SD và EN // (SCD). Tương tự, MN // SC và MN // (SCD). Vậy (EMN) // (SCD). c) Ta có ON // SD và ON // (SBC). Tương tự, OM // SB và OM // (SBC). Vậy (OMN) // (SBC).