giúp mình với Câu 1: Cho $\cos\alpha=\frac34.$ Tính giá trị của biểu thức $B=\frac{ an\alpha+3\cot\alpha}{ an\alpha+\cot\alpha}.$ Kết,quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2.

Question

giúp mình với Câu 1: Cho $\cos\alpha=\frac34.$ Tính giá trị của biểu thức $B=\frac{	an\alpha+3\cot\alpha}{	an\alpha+\cot\alpha}.$ Kết,quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2.

Accepted Answer

Câu 1:
Để tính giá trị của biểu thức $ B = \frac{\tan\alpha + 3\cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha} $ khi biết $\cos\alpha = \frac{3}{4}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị của $\sin\alpha$:
   - Biết rằng $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, ta có:
     $$
     \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \sin^2\alpha = 1
     $$
     $$
     \frac{9}{16} + \sin^2\alpha = 1
     $$
     $$
     \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}
     $$
     $$
     \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}
     $$

2. Tìm giá trị của $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$:
   - $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
   - $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Ta xét hai trường hợp:
   - Nếu $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$:
     $$
     \tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}
     $$
     $$
     \cot\alpha = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}}
     $$

- Nếu $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$:
     $$
     \tan\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}
     $$
     $$
     \cot\alpha = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}}
     $$

3. Thay vào biểu thức $ B $:
   - Với $\tan\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$ và $\cot\alpha = \frac{3}{\sqrt{7}}$:
     $$
     B = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{3}{\sqrt{7}}}
     $$
     $$
     B = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{9}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{3}{\sqrt{7}}}
     $$
     $$
     B = \frac{\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 9 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 3 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}}
     $$
     $$
     B = \frac{\frac{7 + 27}{3 \sqrt{7}}}{\frac{7 + 9}{3 \sqrt{7}}}
     $$
     $$
     B = \frac{\frac{34}{3 \sqrt{7}}}{\frac{16}{3 \sqrt{7}}} = \frac{34}{16} = \frac{17}{8} = 2.125
     $$

- Với $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ và $\cot\alpha = -\frac{3}{\sqrt{7}}$:
     $$
     B = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot -\frac{3}{\sqrt{7}}}{-\frac{\sqrt{7}}{3} + -\frac{3}{\sqrt{7}}}
     $$
     $$
     B = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{9}{\sqrt{7}}}{-\frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{3}{\sqrt{7}}}
     $$
     $$
     B = \frac{-\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 9 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}}{-\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 3 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}}
     $$
     $$
     B = \frac{-\frac{7 + 27}{3 \sqrt{7}}}{-\frac{7 + 9}{3 \sqrt{7}}} = \frac{-\frac{34}{3 \sqrt{7}}}{-\frac{16}{3 \sqrt{7}}} = \frac{34}{16} = \frac{17}{8} = 2.125
     $$

Vậy giá trị của biểu thức $ B $ là $ 2.13 $ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).