làm giúp mình

Câu 17. Để xác định các kích thước của cửa sổ sao cho diện tích của nó là lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các biến và điều kiện: - Gọi bán kính của nửa đường tròn là \( r \) (mét). - Chiều cao của phần hình chữ nhật là \( h \) (mét). - Chiều dài của phần hình chữ nhật là \( 2r \) (mét) vì chiều dài này bằng đường kính của nửa đường tròn. 2. Viết biểu thức cho chu vi của cửa sổ: - Chu vi của nửa đường tròn là \( \pi r \). - Chu vi của phần hình chữ nhật là \( 2r + 2h \). - Tổng chu vi của cửa sổ là: \[ \pi r + 2r + 2h = a \] - Sắp xếp lại phương trình: \[ 2h = a - (\pi r + 2r) \] \[ h = \frac{a - (\pi r + 2r)}{2} \] 3. Viết biểu thức cho diện tích của cửa sổ: - Diện tích của nửa đường tròn là \( \frac{1}{2} \pi r^2 \). - Diện tích của phần hình chữ nhật là \( 2r \times h \). - Tổng diện tích của cửa sổ là: \[ A = \frac{1}{2} \pi r^2 + 2r \times h \] - Thay \( h \) vào biểu thức diện tích: \[ A = \frac{1}{2} \pi r^2 + 2r \left( \frac{a - (\pi r + 2r)}{2} \right) \] \[ A = \frac{1}{2} \pi r^2 + r(a - \pi r - 2r) \] \[ A = \frac{1}{2} \pi r^2 + ar - \pi r^2 - 2r^2 \] \[ A = ar - \frac{1}{2} \pi r^2 - 2r^2 \] \[ A = ar - \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) r^2 \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích: - Để diện tích \( A \) lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( r \) sao cho đạo hàm của \( A \) bằng 0. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương hoặc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất của \( A \). 5. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: - Ta có: \[ A = ar - \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) r^2 \] - Để \( A \) lớn nhất, ta cần \( r \) sao cho \( ar - \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) r^2 \) lớn nhất. Điều này xảy ra khi \( r \) thỏa mãn: \[ r = \frac{a}{2 \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right)} \] \[ r = \frac{a}{\pi + 4} \] 6. Tính chiều cao \( h \): - Thay \( r = \frac{a}{\pi + 4} \) vào biểu thức của \( h \): \[ h = \frac{a - \left( \pi \frac{a}{\pi + 4} + 2 \frac{a}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a - \frac{a(\pi + 2)}{\pi + 4}}{2} \] \[ h = \frac{a \left( 1 - \frac{\pi + 2}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a \left( \frac{\pi + 4 - \pi - 2}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a \left( \frac{2}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a}{\pi + 4} \] Vậy, các kích thước của cửa sổ để diện tích lớn nhất là: - Bán kính của nửa đường tròn: \( r = \frac{a}{\pi + 4} \) (mét). - Chiều cao của phần hình chữ nhật: \( h = \frac{a}{\pi + 4} \) (mét).