làm hộ mình với

Câu 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng \( ax + by = c \), trong đó \( a \), \( b \), và \( c \) là các hằng số, và \( x \), \( y \) là các ẩn số. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình bậc nhất hai ẩn: A. \( 3x - 5y = 0 \) - Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \( ax + by = c \) với \( a = 3 \), \( b = -5 \), và \( c = 0 \). B. \( 3x + 0y = 2xy \) - Phương trình này không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \( xy \), tức là có chứa tích của hai ẩn số. C. \( 2x + 3y = x^2 \) - Phương trình này không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \( x^2 \), tức là có chứa lũy thừa bậc hai của ẩn số \( x \). D. \( 2x - 4y^2 = -1 \) - Phương trình này không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \( y^2 \), tức là có chứa lũy thừa bậc hai của ẩn số \( y \). Vậy phương trình đúng là phương trình bậc nhất hai ẩn là: A. \( 3x - 5y = 0 \) Đáp án: A. \( 3x - 5y = 0 \) Câu 2. Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx+y=5\\x-2y=-1\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình đầu tiên để tìm một biến theo biến còn lại: \[ x + y = 5 \] \[ x = 5 - y \] Bước 2: Thay giá trị của \( x \) vào phương trình thứ hai: \[ (5 - y) - 2y = -1 \] \[ 5 - y - 2y = -1 \] \[ 5 - 3y = -1 \] Bước 3: Giải phương trình này để tìm \( y \): \[ 5 - 3y = -1 \] \[ -3y = -1 - 5 \] \[ -3y = -6 \] \[ y = 2 \] Bước 4: Thay giá trị của \( y \) vào phương trình \( x = 5 - y \) để tìm \( x \): \[ x = 5 - 2 \] \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = (3; 2) \). Đáp án đúng là: B. \( (3; 2) \). Câu 3. Phương trình $(x-1)(x+3)x=0$ có ba nghiệm là: - $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ - $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ - $x = 0$ Vậy phương trình có 3 nghiệm. Đáp án đúng là: C. 3 Câu 4. Căn bậc hai của 25 là các số mà khi nhân với chính nó sẽ bằng 25. Ta có: \[ 5 \times 5 = 25 \] \[ (-5) \times (-5) = 25 \] Tuy nhiên, theo định nghĩa của căn bậc hai, ta chỉ lấy giá trị dương. Do đó, căn bậc hai của 25 là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 5. Để biểu thức $\sqrt{3x-1}$ xác định, ta cần: \[ 3x - 1 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 3x \geq 1 \] \[ x \geq \frac{1}{3} \] Vậy biểu thức $\sqrt{3x-1}$ xác định khi: \[ x \geq \frac{1}{3} \] Đáp án đúng là: B. $x \geq \frac{1}{3}$. Câu 6. Để tìm giá trị của cos B trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài cạnh huyền BC: Áp dụng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \text{ cm} \] 2. Tính giá trị của cos B: Trong tam giác vuông, cos của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh kề với góc đó và độ dài cạnh huyền. \[ \cos B = \frac{\text{cạnh kề với góc B}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \] Vậy giá trị của cos B là $\frac{3}{5}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{3}{5}$. Câu 7. Độ dài cung tròn được tính bằng công thức: \[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \] Trong đó: - \( \theta \) là góc tâm (đoạn cung tròn). - \( r \) là bán kính của đường tròn. Ở đây, ta có: - \( \theta = 20^\circ \) - \( r = 9 \text{ cm} \) Thay vào công thức: \[ l = \frac{20^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 9 \] \[ l = \frac{1}{18} \times 2\pi \times 9 \] \[ l = \frac{1}{18} \times 18\pi \] \[ l = \pi \text{ cm} \] Vậy độ dài cung tròn là \( \pi \text{ cm} \). Đáp án đúng là: A. \( \pi \text{ cm} \). Câu 8. 1. Vị trí tương đối của hai đường tròn: - Ta có bán kính của đường tròn $(O)$ là $R = 5$ cm. - Bán kính của đường tròn $(I)$ là $r = 2$ cm. - Khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là $OI = 3$ cm. Ta so sánh các giá trị: - $R - r = 5 - 2 = 3$ cm - $R + r = 5 + 2 = 7$ cm Do $OI = R - r$, nên hai đường tròn tiếp xúc trong. Đáp án: B. Tiếp xúc trong. 2. Trắc nghiệm đúng - sai: a) Đúng: Vì hai đường tròn tiếp xúc trong khi $OI = R - r$. b) Sai: Vì hai đường tròn không cắt nhau khi $OI = R - r$. c) Sai: Vì hai đường tròn không tiếp xúc ngoài khi $OI = R - r$. d) Sai: Vì hai đường tròn không không giao nhau khi $OI = R - r$. Câu 9, Để kiểm tra xem học sinh đã làm đúng hay sai, chúng ta cần xem xét từng bước của bài giải và so sánh với yêu cầu đã đưa ra. Dưới đây là ví dụ về cách kiểm tra: Ví dụ 1: Câu hỏi: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B về A. Giải: Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: x (đơn vị: km/h; điều kiện: x > 0). Vận tốc khi người đó đi từ B về A là: x + 3 (km/h). Thời gian đi từ A đến B là: $\frac{36}{x}$ (giờ). Thời gian đi từ B về A là: $\frac{36}{x+3}$ (giờ). Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút, tức là 0,6 giờ: \[ \frac{36}{x} - \frac{36}{x+3} = 0,6 \] Quy đồng và giải phương trình: \[ \frac{36(x+3) - 36x}{x(x+3)} = 0,6 \] \[ \frac{108}{x(x+3)} = 0,6 \] \[ 108 = 0,6x(x+3) \] \[ 108 = 0,6x^2 + 1,8x \] \[ 0,6x^2 + 1,8x - 108 = 0 \] \[ x^2 + 3x - 180 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm 27}{2} \] \[ x = 12 \text{ hoặc } x = -15 \] Vì x > 0 nên x = 12. Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B về A là: \[ x + 3 = 12 + 3 = 15 \text{ (km/h)} \] Đáp số: 15 km/h. Kiểm tra: - Đặt ẩn và điều kiện đúng. - Phương trình đúng. - Giải phương trình đúng. - Kết luận đúng. Đáp án: Đúng. Ví dụ 2: Câu hỏi: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 4 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 2460 chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may nhiều hơn tổ thứ hai 30 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày được bao nhiêu chiếc áo? Giải: Gọi số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là x (chiếc áo, điều kiện: x > 30). Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là x - 30 (chiếc áo). Theo đề bài: \[ 4x + 5(x - 30) = 2460 \] \[ 4x + 5x - 150 = 2460 \] \[ 9x - 150 = 2460 \] \[ 9x = 2610 \] \[ x = 290 \] Vậy số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là 290 chiếc áo. Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là: \[ 290 - 30 = 260 \text{ (chiếc áo)} \] Đáp số: Tổ thứ nhất: 290 chiếc áo/ngày; Tổ thứ hai: 260 chiếc áo/ngày. Kiểm tra: - Đặt ẩn và điều kiện đúng. - Phương trình đúng. - Giải phương trình đúng. - Kết luận đúng. Đáp án: Đúng. Ví dụ 3: Câu hỏi: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 45m². Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn. Giải: Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là x và y (m, x > 0, y > 0). Chu vi của mảnh vườn là: \[ 2(x + y) = 34 \] \[ x + y = 17 \] Diện tích ban đầu là: \[ xy \] Diện tích mới là: \[ (x + 2)(y + 3) \] Theo đề bài, diện tích tăng thêm 45m²: \[ (x + 2)(y + 3) - xy = 45 \] \[ xy + 3x + 2y + 6 - xy = 45 \] \[ 3x + 2y + 6 = 45 \] \[ 3x + 2y = 39 \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 17 \\ 3x + 2y = 39 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 17 \\ 3x + 2y = 39 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2x + 2y = 34 \] Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (3x + 2y) - (2x + 2y) = 39 - 34 \] \[ x = 5 \] Thay x = 5 vào phương trình x + y = 17: \[ 5 + y = 17 \] \[ y = 12 \] Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là 12m và 5m. Đáp số: Chiều dài: 12m; Chiều rộng: 5m. Kiểm tra: - Đặt ẩn và điều kiện đúng. - Hệ phương trình đúng. - Giải hệ phương trình đúng. - Kết luận đúng. Đáp án: Đúng. Kết luận: Học sinh đã làm đúng các bài toán theo yêu cầu đã đưa ra. Câu 9. a) Ta có $a \leq b$. Nhân cả hai vế với 2025 ta được: \[ 2025a \leq 2025b \] b) Ta có $a \leq b$. Nhân cả hai vế với -3 (nhân với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức): \[ -3a \geq -3b \] c) Ta có $a \leq b$. Nhân cả hai vế với -4 (nhân với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức): \[ -4a \geq -4b \] Cộng thêm 9 vào cả hai vế: \[ 9 - 4a \geq 9 - 4b \] d) Ta có $a \leq b$. Nhân cả hai vế với 2025: \[ 2025a \leq 2025b \] Cộng thêm 2021 vào cả hai vế: \[ 2025a + 2021 \leq 2025b + 2021 \] Ta thấy rằng 2021 < 2024, do đó: \[ 2025a + 2021 \leq 2025b + 2024 \] Đáp số: a) $2025a \leq 2025b$ b) $-3a \geq -3b$ c) $9 - 4a \geq 9 - 4b$ d) $2025a + 2021 \leq 2025b + 2024$ Bài 1. a) Chứng minh đẳng thức $\sqrt{15}:\sqrt3-\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=1.$ Ta có: $\sqrt{15}:\sqrt3-\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=\sqrt{15}: \sqrt3 - |\sqrt5-1|$ $= \sqrt{15:3}-(\sqrt5-1)$ $= \sqrt5-\sqrt5+1$ $= 1$ Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức trên. b) Rút gọn biểu thức $P=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac{2\sqrt x-1}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$ với $x>0$ và $x\ne1.$ Điều kiện xác định: $x>0$ và $x\ne1.$ Ta có: $P=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac{2\sqrt x-1}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$ $= \frac{\sqrt x \times \sqrt x -(2\sqrt x-1)}{\sqrt x (\sqrt x-1)}$ $= \frac{x-2\sqrt x+1}{\sqrt x (\sqrt x-1)}$ $= \frac{(\sqrt x-1)^2}{\sqrt x (\sqrt x-1)}$ $= \frac{\sqrt x-1}{\sqrt x}$ $= 1- \frac{1}{\sqrt x}$ Vậy $P=1- \frac{1}{\sqrt x}$. Bài 2. a) Giải phương trình $\frac{x+3}{x}=\frac{1}{2}$ Điều kiện xác định: $x \neq 0$. Nhân cả 2 vế với 2x: $2(x + 3) = x$ $2x + 6 = x$ $2x - x = -6$ $x = -6$ Vậy phương trình có nghiệm là $x = -6$. b) Giải bất phương trình $6x^2 - 36 \geq 6x(x - 2) - 5(2x + 1)$ Mở ngoặc và thu gọn: $6x^2 - 36 \geq 6x^2 - 12x - 10x - 5$ $6x^2 - 36 \geq 6x^2 - 22x - 5$ Trừ $6x^2$ từ cả 2 vế: $-36 \geq -22x - 5$ Cộng 5 vào cả 2 vế: $-31 \geq -22x$ Chia cả 2 vế cho -22 (nhớ đổi dấu): $\frac{31}{22} \leq x$ Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \geq \frac{31}{22}$. Bài 3. Bài toán: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 4 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 2460 chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may nhiều hơn tổ thứ hai 30 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày được bao nhiêu chiếc áo? Giải: Gọi số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là \( x \) (chiếc áo, điều kiện: \( x > 30 \)). Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là \( x - 30 \) (chiếc áo). Theo đề bài, ta có: - Số áo tổ thứ nhất may trong 4 ngày là \( 4x \) (chiếc áo). - Số áo tổ thứ hai may trong 5 ngày là \( 5(x - 30) \) (chiếc áo). Tổng số áo mà cả hai tổ may được là 2460 chiếc áo, nên ta có phương trình: \[ 4x + 5(x - 30) = 2460 \] Mở ngoặc và rút gọn: \[ 4x + 5x - 150 = 2460 \] \[ 9x - 150 = 2460 \] Di chuyển 150 sang vế phải: \[ 9x = 2460 + 150 \] \[ 9x = 2610 \] Chia cả hai vế cho 9: \[ x = \frac{2610}{9} \] \[ x = 290 \] Vậy số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là 290 chiếc áo. Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là: \[ x - 30 = 290 - 30 = 260 \] (chiếc áo) Đáp số: - Tổ thứ nhất: 290 chiếc áo/ngày. - Tổ thứ hai: 260 chiếc áo/ngày.