làm nhanh giupd mai ktra r

Câu 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng \( ax + by + c = 0 \), trong đó \( a \), \( b \), và \( c \) là các hằng số, và \( x \), \( y \) là các ẩn số. A. \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 = 0 \) - Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn vì \( x \) và \( y \) đều có bậc 1. B. \( 3y - 2 = -4y - 2 \) - Phương trình này chỉ có một ẩn \( y \), do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. C. \( x^2 + 2y - 1 = 0 \) - Phương trình này có \( x^2 \), tức là \( x \) có bậc 2, do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. D. \( 3\sqrt{x} + y^2 = 0 \) - Phương trình này có \( \sqrt{x} \) và \( y^2 \), tức là \( x \) và \( y \) không có bậc 1, do đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn là: A. \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 = 0 \) Câu 2. Để tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{4x-1}{x+2}+1=\frac{3}{x-2}$, ta cần đảm bảo rằng các mẫu số của các phân thức không bằng không. 1. Mẫu số của phân thức đầu tiên là \(x + 2\). Để phân thức này có nghĩa, ta cần: \[ x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \] 2. Mẫu số của phân thức thứ hai là \(x - 2\). Để phân thức này có nghĩa, ta cần: \[ x - 2 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \] Từ đó, điều kiện xác định của phương trình là: \[ x \neq -2 \text{ và } x \neq 2 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( x \neq -2, x \neq 2 \) Đáp số: D. \( x \neq -2, x \neq 2 \) Câu 3. Câu hỏi: Bất đẳng thức $n \leq 3$ có thể được phát biểu là: A. n lớn hơn 3 B. n nhỏ hơn 3 C. n không lớn hơn 3 D. n không nhỏ hơn 3 Câu trả lời: Bất đẳng thức $n \leq 3$ có nghĩa là n có thể bằng 3 hoặc nhỏ hơn 3. Do đó, chúng ta có thể phát biểu nó là "n không lớn hơn 3". Vậy đáp án đúng là: C. n không lớn hơn 3 Câu 4. Để tìm biểu thức có giá trị khác với các biểu thức còn lại, chúng ta sẽ tính giá trị của từng biểu thức: A. $(-\sqrt{5})^2$ - Ta có: $(-\sqrt{5})^2 = (-\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = (\sqrt{5}) \times (\sqrt{5}) = 5$ B. $\sqrt{5^2}$ - Ta có: $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$ C. $\sqrt{(-5)^2}$ - Ta có: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ D. $-(\sqrt{5})^2$ - Ta có: $-(\sqrt{5})^2 = -(\sqrt{5} \times \sqrt{5}) = -(5) = -5$ Như vậy, giá trị của biểu thức D là -5, trong khi các biểu thức A, B và C đều có giá trị là 5. Do đó, biểu thức có giá trị khác với các biểu thức còn lại là: D. $-(\sqrt{5})^2$. Câu 5. Để tìm giá trị của $\cot35^023'$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\tan35^023'$: - Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\tan35^023'$. - Kết quả là $\tan35^023' \approx 0.711$. 2. Tính giá trị của $\cot35^023'$: - Biết rằng $\cot x = \frac{1}{\tan x}$, ta có: \[ \cot35^023' = \frac{1}{\tan35^023'} \approx \frac{1}{0.711} \approx 1.407 \] 3. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba: - Giá trị $\cot35^023'$ làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là $1.407$. Vậy đáp án đúng là: C. $1.407$. Câu 6. Trước tiên, ta cần xác định các góc của tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại A và $\widehat{C} = 60^\circ$, nên $\widehat{B} = 30^\circ$ (vì tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$). Ta sẽ sử dụng các tỉ số lượng giác để tìm độ dài các cạnh còn lại. 1. Tìm độ dài cạnh AB: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc 30° là $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ và $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Ta có $\cos(60^\circ) = \frac{AB}{BC}$. Nhưng vì $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{1}{2} \] \[ BC = 2 \times AB \] 2. Tìm độ dài cạnh BC: - Ta biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{AC}{BC}$. Nhưng vì $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{10}{BC} = \frac{1}{2} \] \[ BC = 20 \text{ cm} \] 3. Tìm độ dài cạnh AB: - Ta đã biết $BC = 20 \text{ cm}$, do đó: \[ AB = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm} \] Nhưng ta cần kiểm tra lại các tỉ số lượng giác để đảm bảo tính toán đúng. Ta sẽ sử dụng $\tan(60^\circ)$ để kiểm tra lại: \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} = \frac{AB}{AC} \] \[ AB = AC \times \sqrt{3} = 10 \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ cm} \] Do đó, độ dài các cạnh còn lại là: \[ AB = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \] \[ BC = \frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \] Vậy đáp án đúng là: D. $AB = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ cm}; BC = \frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$. Câu 7. Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta cần so sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn với tổng và hiệu các bán kính của chúng. - Bán kính của đường tròn $(O)$ là $R = 5$ cm. - Bán kính của đường tròn $(O')$ là $r = 4$ cm. - Khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là $OO' = 9$ cm. Tổng các bán kính là: \[ R + r = 5 + 4 = 9 \text{ cm} \] Hiệu các bán kính là: \[ R - r = 5 - 4 = 1 \text{ cm} \] So sánh các giá trị này: - $OO' = R + r = 9$ cm Khi khoảng cách giữa tâm hai đường tròn bằng tổng các bán kính của chúng, hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Vậy kết luận đúng là: C. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Câu 8. Để tính diện tích của hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm O với bán kính lần lượt là 2 cm và 4 cm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích của đường tròn lớn: Diện tích của đường tròn lớn có bán kính 4 cm là: \[ S_{\text{lớn}} = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2 \] 2. Tính diện tích của đường tròn nhỏ: Diện tích của đường tròn nhỏ có bán kính 2 cm là: \[ S_{\text{nhỏ}} = \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ cm}^2 \] 3. Tính diện tích của hình vành khăn: Diện tích của hình vành khăn là hiệu giữa diện tích của đường tròn lớn và diện tích của đường tròn nhỏ: \[ S_{\text{vành khăn}} = S_{\text{lớn}} - S_{\text{nhỏ}} = 16\pi - 4\pi = 12\pi \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích của hình vành khăn là \(12\pi \text{ cm}^2\). Đáp án đúng là: D. \(12\pi \text{ cm}^2\). Bài 1. a) Tính giá trị của $A$ khi $x=25.$ Thay $x=25$ vào biểu thức $A$, ta có: \[ A = \frac{\sqrt{25} + 1}{\sqrt{25} - 3} = \frac{5 + 1}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3 \] b) Rút gọn biểu thức $B$. Điều kiện xác định: $x \geq 0, x \neq 9, x \neq 1$. Ta có: \[ B = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) \cdot \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} \] Rút gọn từng phần: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Nhân với $\frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1}$: \[ B = \left( \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} \] \[ = \frac{x - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] c) Tìm các số nguyên tố $x$ để $A \cdot B < 1$. Ta có: \[ A \cdot B = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \] Yêu cầu: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} < 1 \] Điều này tương đương: \[ \sqrt{x} < \sqrt{x} - 3 \] Điều này không thể xảy ra, do đó ta cần kiểm tra lại các giá trị nguyên tố của $x$ thỏa mãn điều kiện ban đầu. Kiểm tra các số nguyên tố nhỏ hơn 9: - $x = 2$: $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 3} \approx \frac{1.414}{1.414 - 3} \approx \frac{1.414}{-1.586} < 1$ - $x = 3$: $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 3} \approx \frac{1.732}{1.732 - 3} \approx \frac{1.732}{-1.268} < 1$ - $x = 5$: $\sqrt{5} \approx 2.236$, $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 3} \approx \frac{2.236}{2.236 - 3} \approx \frac{2.236}{-0.764} < 1$ - $x = 7$: $\sqrt{7} \approx 2.646$, $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - 3} \approx \frac{2.646}{2.646 - 3} \approx \frac{2.646}{-0.354} < 1$ Vậy các số nguyên tố $x$ thỏa mãn là $2, 3, 5, 7$. Bài 2. 1. a) Điều kiện xác định: \( x \neq 3 \) và \( x \neq -1 \). Phương trình đã cho: \[ \frac{x}{2(x-3)} + \frac{x}{2(x+1)} = \frac{-2x}{(3-x)(x+1)} \] Nhân cả hai vế với \( 2(x-3)(x+1) \): \[ x(x+1) + x(x-3) = -4x \] Rút gọn: \[ x^2 + x + x^2 - 3x = -4x \] \[ 2x^2 - 2x = -4x \] \[ 2x^2 + 2x = 0 \] \[ 2x(x + 1) = 0 \] Vậy \( x = 0 \) hoặc \( x = -1 \). Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = -1 \) bị loại vì không thỏa mãn điều kiện \( x \neq -1 \). Do đó, nghiệm của phương trình là \( x = 0 \). b) Điều kiện xác định: \( x \in \mathbb{R} \). Bất phương trình đã cho: \[ \frac{x+1}{3} + \frac{x}{2} > 4 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{2(x+1) + 3x}{6} > 4 \] \[ \frac{2x + 2 + 3x}{6} > 4 \] \[ \frac{5x + 2}{6} > 4 \] Nhân cả hai vế với 6: \[ 5x + 2 > 24 \] \[ 5x > 22 \] \[ x > \frac{22}{5} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( x > \frac{22}{5} \). 2. Gọi số học sinh của lớp 9A là \( x \) và số học sinh của lớp 9B là \( y \). Theo đề bài, ta có: \[ x + y = 60 \] \[ 3 \times 5 + 2(x - 3) = 3 \times 5 + 2(y - 3) + 8 \] Giải hệ phương trình: \[ x + y = 60 \] \[ 15 + 2(x - 3) = 15 + 2(y - 3) + 8 \] \[ 2x - 6 = 2y - 6 + 8 \] \[ 2x = 2y + 8 \] \[ x = y + 4 \] Thay \( x = y + 4 \) vào \( x + y = 60 \): \[ y + 4 + y = 60 \] \[ 2y + 4 = 60 \] \[ 2y = 56 \] \[ y = 28 \] Vậy \( x = 28 + 4 = 32 \). Số học sinh của lớp 9A là 32 và số học sinh của lớp 9B là 28. Bài 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các thông số đã biết: - Chiều cao của cột ăng-ten trên nóc tòa nhà: 5 m. - Vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất. - Góc nhìn thấy đỉnh B của cột ăng-ten: $50^\circ$. - Góc nhìn thấy đỉnh C của cột ăng-ten: $40^\circ$. 2. Xác định các đại lượng cần tìm: - Chiều cao của tòa nhà. 3. Lập phương trình để tìm chiều cao của tòa nhà: - Gọi chiều cao của tòa nhà là \( h \) (m). - Chiều cao từ vị trí quan sát A đến đỉnh B của cột ăng-ten là \( h + 5 \) (m). - Chiều cao từ vị trí quan sát A đến đỉnh C của cột ăng-ten là \( h \) (m). 4. Áp dụng tỉ số lượng giác: - Ta có: \(\tan(50^\circ) = \frac{h + 5 - 7}{d}\) và \(\tan(40^\circ) = \frac{h - 7}{d}\), trong đó \(d\) là khoảng cách từ vị trí quan sát A đến chân tòa nhà. 5. Tìm khoảng cách \(d\): - Từ hai phương trình trên, ta có: \[ \frac{h - 2}{d} = \tan(50^\circ) \] \[ \frac{h - 7}{d} = \tan(40^\circ) \] 6. Tìm \(h\): - Chia hai phương trình trên cho nhau để loại bỏ \(d\): \[ \frac{\frac{h - 2}{d}}{\frac{h - 7}{d}} = \frac{\tan(50^\circ)}{\tan(40^\circ)} \] \[ \frac{h - 2}{h - 7} = \frac{\tan(50^\circ)}{\tan(40^\circ)} \] 7. Giải phương trình: - Thay giá trị của \(\tan(50^\circ)\) và \(\tan(40^\circ)\) vào phương trình: \[ \frac{h - 2}{h - 7} = \frac{1.1918}{0.8391} \] \[ \frac{h - 2}{h - 7} \approx 1.42 \] - Nhân cả hai vế với \(h - 7\): \[ h - 2 = 1.42(h - 7) \] \[ h - 2 = 1.42h - 9.94 \] - Chuyển các hạng tử liên quan đến \(h\) sang một vế: \[ h - 1.42h = -9.94 + 2 \] \[ -0.42h = -7.94 \] \[ h = \frac{7.94}{0.42} \] \[ h \approx 18.9 \] Vậy chiều cao của tòa nhà là khoảng 18.9 m. Bài 4. a) Chứng minh K là trung điểm của AB: - Xét tam giác OMA và OMB, ta thấy: - OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn) - OM chung - $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$ (vì MA và MB là tiếp tuyến) - Do đó, tam giác OMA và OMB bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra: $\angle OAK = \angle OBK$ (hai góc tương ứng). - Vì $\angle OAK = \angle OBK$, nên OK là đường phân giác của $\angle AOB$. - Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, OK cũng là đường trung trực của AB. - Vậy K là trung điểm của AB. b) Chứng minh $MB \cdot BN = BH \cdot MO$: - Xét tam giác MBN và tam giác BHO, ta thấy: - $\angle MBN = \angle BHO = 90^\circ$ (vì MB là tiếp tuyến và BH vuông góc với AN). - $\angle MNB = \angle HBO$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung NB). - Do đó, tam giác MBN và tam giác BHO đồng dạng (góc - góc). - Từ tính chất đồng dạng, ta có tỉ lệ: \[ \frac{MB}{BH} = \frac{BN}{MO} \] - Nhân cả hai vế với $BH \cdot MO$, ta được: \[ MB \cdot BN = BH \cdot MO \] c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OB, ON và cung nhỏ BN: - Ta biết $OM = 2R$, suy ra $OK = R$ (vì K là trung điểm của OM). - Xét tam giác OAK, ta thấy: - $OA = R$ - $OK = R$ - $\angle OAK = 90^\circ$ - Do đó, tam giác OAK là tam giác vuông cân, suy ra $\angle AOK = 45^\circ$. - Vì K là trung điểm của AB, nên $\angle AOB = 2 \times \angle AOK = 90^\circ$. - Diện tích hình quạt BON là: \[ S_{quạt} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi R^2 \] Đáp số: a) K là trung điểm của AB. b) $MB \cdot BN = BH \cdot MO$. c) Diện tích hình quạt BON là $\frac{1}{4} \pi R^2$. Bài 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A với AB = 6 m và AC = 8 m. - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ m}^2 \] 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: - Ta có: \[ BD + DC = BC \] - Diện tích tam giác BMD và CMD là: \[ S_{BMD} = \frac{1}{2} \times BD \times MD \] \[ S_{CMD} = \frac{1}{2} \times CD \times MC \] - Tổng diện tích tam giác BMD và CMD là: \[ S_{BMD} + S_{CMD} = \frac{1}{2} \times BD \times MD + \frac{1}{2} \times CD \times MC \] - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (BD + CD) \left( \frac{MD}{BD} + \frac{MC}{CD} \right) \geq 4 \] - Vì \(BD + CD = BC\) và \(BC = 10\) (theo Pythagoras): \[ 10 \left( \frac{MD}{BD} + \frac{MC}{CD} \right) \geq 4 \] \[ \frac{MD}{BD} + \frac{MC}{CD} \geq \frac{4}{10} = 0.4 \] 3. Diện tích lớn nhất của ao cá: - Diện tích tam giác BMD và CMD là: \[ S_{BMD} + S_{CMD} = \frac{1}{2} \times BD \times MD + \frac{1}{2} \times CD \times MC \] - Diện tích lớn nhất của ao cá là: \[ S_{ADME} = S_{ABC} - (S_{BMD} + S_{CMD}) \] - Để diện tích lớn nhất, ta cần \(S_{BMD} + S_{CMD}\) nhỏ nhất. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, \(S_{BMD} + S_{CMD}\) nhỏ nhất khi \(MD = MC\). 4. Tính diện tích lớn nhất của ao cá: - Diện tích lớn nhất của ao cá là: \[ S_{ADME} = 24 - \left( \frac{1}{2} \times 10 \times 0.4 \right) = 24 - 2 = 22 \text{ m}^2 \] Đáp số: Diện tích lớn nhất của ao cá là 22 m².