làm giúp mình

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D = \left(1 + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(1 + \frac{1}{b}\right)^2 \) với điều kiện \( a + b = 1 \) và \( a > 0, b > 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Ta có: \[ \left(1 + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(1 + \frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{\left(1 + \frac{1}{a} + 1 + \frac{1}{b}\right)^2}{2} \] Điều này là do bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng: \[ (x_1^2 + x_2^2) \geq \frac{(x_1 + x_2)^2}{2} \] 2. Tính tổng \( 1 + \frac{1}{a} + 1 + \frac{1}{b} \): \[ 1 + \frac{1}{a} + 1 + \frac{1}{b} = 2 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \] 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-HM: Ta biết rằng: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b} \] Vì \( a + b = 1 \), nên: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \] 4. Thay vào biểu thức: \[ 2 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 + 4 = 6 \] 5. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ \left(1 + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(1 + \frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18 \] 6. Kiểm tra điều kiện để đạt giá trị nhỏ nhất: Để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4 \). Điều này xảy ra khi \( a = b = \frac{1}{2} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D \) là 18, đạt được khi \( a = b = \frac{1}{2} \). Đáp số: \( D_{min} = 18 \) khi \( a = b = \frac{1}{2} \).