làm giúp mình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D=(1+\frac1a)^2+(1+\frac1b)^2$ biết $a+b=1$ và $a0;b0$

Question

làm giúp mình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D=(1+\frac1a)^2+(1+\frac1b)^2$ biết $a+b=1$ và $a>0;b>0$

Accepted Answer

Áp dụng bất đẳng thức $\displaystyle Cauchy-Schwarz$:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x_{1}^{2} +x_{2}^{2} \geqslant \frac{( x_{1} +x_{2})^{2}}{2} ,\ dấu\ "="\ xảy\ ra\ khi\ và\ chỉ\ khi\ x_{1} =x_{2}\
\
\Longrightarrow \left( 1+\frac{1}{a} ight)^{2} +\left( 1+\frac{1}{b} ight)^{2} \geqslant \frac{1}{2}\left[\left( 1+\frac{1}{a} ight) +\left( 1+\frac{1}{b} ight) ight]^{2} =\frac{1}{2}\left( 2+\frac{1}{a} +\frac{1}{b} ight)^{2}\
\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức $\displaystyle AM-HM$:
$\displaystyle \frac{1}{a} +\frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{a+b} =\frac{4}{1} =4,\ \ \ \ dấu\ "="\ xảy\ ra\ khi\ và\ chỉ\ khi\ a =b$

$\displaystyle \Longrightarrow min_{D} =\frac{1}{2}( 2+4)^{2} =18$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi dấu "=" xảy ra đồng thời ở cả 2 bất đẳng thức trên:
$\displaystyle \begin{cases}
\ Cauchy-Schwarz:\ \frac{1}{a} =\frac{1}{b} & \
AM-HM:\ a=b &
\end{cases} \Longrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Vậy, GTNN của biểu thức D là $\displaystyle 18$ khi và chỉ khi $\displaystyle a=b=\frac{1}{2}$