Help mình vs pls 3 Cho tam giác ABC (Hình vẽ) có $MN//BC.$,Chứng minh rằng:,,a) Nếu $PM=PN$ thì $QB=QC.$,b) Nếu $QB=QC$ thì $PM=PN.$

Question

Help mình vs pls 3 Cho tam giác ABC (Hình vẽ) có $MN//BC.$,Chứng minh rằng:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/c917daeef13a48d5b7b24d30dfc80d83.jpg />,a) Nếu $PM=PN$ thì $QB=QC.$,b) Nếu $QB=QC$ thì $PM=PN.$

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng song song và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

Phần a) Chứng minh nếu $ PM = PN $ thì $ QB = QC $

1. Giả sử $ PM = PN $:
   - Vì $ MN \parallel BC $, theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
     $$
     \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}
     $$
   - Mặt khác, do $ PM = PN $, ta có:
     $$
     \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC}
     $$

2. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác:
   - Ta có:
     $$
     \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \quad \text{và} \quad \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC}
     $$
   - Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có:
     $$
     \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC}
     $$

3. Từ đây suy ra:
   - Do $ \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC} $, ta có:
     $$
     PB = PC
     $$
   - Điều này chứng tỏ $ Q $ là trung điểm của $ BC $, tức là:
     $$
     QB = QC
     $$

Phần b) Chứng minh nếu $ QB = QC $ thì $ PM = PN $

1. Giả sử $ QB = QC $:
   - Vì $ MN \parallel BC $, theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
     $$
     \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}
     $$
   - Mặt khác, do $ QB = QC $, ta có:
     $$
     \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC}
     $$

2. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác:
   - Ta có:
     $$
     \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \quad \text{và} \quad \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC}
     $$
   - Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có:
     $$
     \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC}
     $$

3. Từ đây suy ra:
   - Do $ \frac{AP}{PB} = \frac{AP}{PC} $, ta có:
     $$
     PB = PC
     $$
   - Điều này chứng tỏ $ P $ là trung điểm của $ MN $, tức là:
     $$
     PM = PN
     $$

Kết luận:
- Nếu $ PM = PN $ thì $ QB = QC $.
- Nếu $ QB = QC $ thì $ PM = PN $.

Đáp số: 
a) Nếu $ PM = PN $ thì $ QB = QC $.
b) Nếu $ QB = QC $ thì $ PM = PN $.