chứng tỏ với mọi số tự nhiên n ta luôn có : BCNN(n+3,2n+5)=2n^2+11n+15 ( không làm theo cách thử chọn)

Question

Accepted Answer

Để chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên $ n $, ta luôn có $ \text{BCNN}(n+3, 2n+5) = 2n^2 + 11n + 15 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của $ n+3 $ và $ 2n+5 $:
   - Gọi $ d $ là ước chung lớn nhất của $ n+3 $ và $ 2n+5 $. Điều này có nghĩa là $ d $ chia hết cho cả $ n+3 $ và $ 2n+5 $.

2. Áp dụng tính chất của ước chung lớn nhất:
   - Nếu $ d $ là ước chung của $ n+3 $ và $ 2n+5 $, thì $ d $ cũng phải là ước của mọi bội số của chúng.
   - Ta có:
     $$
     2(n+3) = 2n + 6
     $$
     $$
     2n + 6 - (2n + 5) = 1
     $$
   - Do đó, $ d $ phải là ước của 1, tức là $ d = 1 $.

3. Tính bội chung nhỏ nhất (BCNN) của $ n+3 $ và $ 2n+5 $:
   - Vì UCLN của $ n+3 $ và $ 2n+5 $ là 1, nên hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.
   - Khi hai số nguyên tố cùng nhau, bội chung nhỏ nhất của chúng là tích của chúng:
     $$
     \text{BCNN}(n+3, 2n+5) = (n+3)(2n+5)
     $$

4. Tính tích của $ n+3 $ và $ 2n+5 $:
   - Ta có:
     $$
     (n+3)(2n+5) = n \cdot 2n + n \cdot 5 + 3 \cdot 2n + 3 \cdot 5
     $$
     $$
     = 2n^2 + 5n + 6n + 15
     $$
     $$
     = 2n^2 + 11n + 15
     $$

Vậy, với mọi số tự nhiên $ n $, ta luôn có:
$$
\text{BCNN}(n+3, 2n+5) = 2n^2 + 11n + 15
$$