chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì 2n^3-2n+2021 không phải là số chính phương(làm theo phương pháp phản chứng hoặc phương pháp quy nạp)

Để chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên \( n \), biểu thức \( 2n^3 - 2n + 2021 \) không phải là số chính phương, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại số tự nhiên \( n \) sao cho \( 2n^3 - 2n + 2021 \) là số chính phương. Khi đó, ta có thể viết: \[ 2n^3 - 2n + 2021 = k^2 \] với \( k \) là số tự nhiên nào đó. Ta sẽ xét các trường hợp của \( n \) chẵn và lẻ: 1. Trường hợp \( n \) là số chẵn: Giả sử \( n = 2m \) với \( m \) là số tự nhiên. Thay vào biểu thức, ta có: \[ 2(2m)^3 - 2(2m) + 2021 = 16m^3 - 4m + 2021 \] Ta thấy rằng \( 16m^3 - 4m \) là số chẵn vì nó là tổng của các số chẵn. Do đó, \( 16m^3 - 4m + 2021 \) là số lẻ (vì 2021 là số lẻ). Một số chính phương luôn là số chẵn hoặc số lẻ. Tuy nhiên, nếu \( k^2 \) là số chính phương và bằng một số lẻ, thì \( k \) cũng phải là số lẻ. Gọi \( k = 2p + 1 \) với \( p \) là số tự nhiên. Thay vào, ta có: \[ k^2 = (2p + 1)^2 = 4p^2 + 4p + 1 \] Ta thấy rằng \( 4p^2 + 4p + 1 \) luôn có dạng \( 4q + 1 \) (với \( q \) là số tự nhiên). Nhưng \( 16m^3 - 4m + 2021 \) không có dạng \( 4q + 1 \) vì \( 16m^3 - 4m \) chia hết cho 4, còn 2021 chia cho 4 dư 1. Do đó, \( 16m^3 - 4m + 2021 \) không thể là số chính phương. 2. Trường hợp \( n \) là số lẻ: Giả sử \( n = 2m + 1 \) với \( m \) là số tự nhiên. Thay vào biểu thức, ta có: \[ 2(2m + 1)^3 - 2(2m + 1) + 2021 = 2(8m^3 + 12m^2 + 6m + 1) - 4m - 2 + 2021 \] \[ = 16m^3 + 24m^2 + 12m + 2 - 4m - 2 + 2021 \] \[ = 16m^3 + 24m^2 + 8m + 2021 \] Ta thấy rằng \( 16m^3 + 24m^2 + 8m \) là số chẵn vì nó là tổng của các số chẵn. Do đó, \( 16m^3 + 24m^2 + 8m + 2021 \) là số lẻ (vì 2021 là số lẻ). Cũng như trên, nếu \( k^2 \) là số chính phương và bằng một số lẻ, thì \( k \) cũng phải là số lẻ. Gọi \( k = 2p + 1 \) với \( p \) là số tự nhiên. Thay vào, ta có: \[ k^2 = (2p + 1)^2 = 4p^2 + 4p + 1 \] Ta thấy rằng \( 4p^2 + 4p + 1 \) luôn có dạng \( 4q + 1 \) (với \( q \) là số tự nhiên). Nhưng \( 16m^3 + 24m^2 + 8m + 2021 \) không có dạng \( 4q + 1 \) vì \( 16m^3 + 24m^2 + 8m \) chia hết cho 4, còn 2021 chia cho 4 dư 1. Do đó, \( 16m^3 + 24m^2 + 8m + 2021 \) không thể là số chính phương. Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng biểu thức \( 2n^3 - 2n + 2021 \) không thể là số chính phương với mọi số tự nhiên \( n \). Vậy ta đã chứng tỏ được điều cần chứng minh.