cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB (với Ax và By và nửa đường tròn nằm cùng một phía bờ là AB) qua điểm M thuộc nữa đường tròn kẻ tiếp điểm tiếp tuyến với nửa đ...

a) Ta có: $\widehat{ACM}=\widehat{CMD}$ (giao tuyến vuông góc với đường tròn) $\widehat{BDM}=\widehat{CMD}$ (giao tuyến vuông góc với đường tròn) Suy ra $\widehat{ACM}=\widehat{BDM}$ Ta có $\widehat{ACM}+\widehat{CAM}=90^\circ$ (giao tuyến vuông góc với đường tròn) $\widehat{BDM}+\widehat{DBM}=90^\circ$ (giao tuyến vuông góc với đường tròn) Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{DBM}$ Xét $\triangle CAM$ và $\triangle DBM$ có: $\widehat{CAM}=\widehat{DBM}$ (chứng minh trên) $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (đối đỉnh) $AM=BM$ (tính chất tiếp tuyến) Suy ra $\triangle CAM=\triangle DBM$ (g.c.gn) Suy ra $AC=BD$ (2 cạnh tương ứng) Từ đó ta có $CD=AC+BD$ b) Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{DBM}$ (chứng minh trên) $\widehat{CAM}=\widehat{ACO}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $\widehat{DBM}=\widehat{BDO}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra $\widehat{ACO}=\widehat{BDO}$ Xét $\triangle ACO$ và $\triangle BDO$ có: $OC=OD$ (tính chất tiếp tuyến) $\widehat{ACO}=\widehat{BDO}$ (chứng minh trên) $OA=OB$ (tính chất tiếp tuyến) Suy ra $\triangle ACO=\triangle BDO$ (c.c.c) Suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$ (2 góc tương ứng) Ta có $\widehat{AOC}+\widehat{COD}+\widehat{BOD}=180^\circ$ (đồng vị) Suy ra $2\times \widehat{COD}+\widehat{COD}=180^\circ$ Suy ra $\widehat{COD}=90^\circ$ Vậy $\triangle COD$ là tam giác vuông tại O c) Ta có $\widehat{ACO}=90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến) $\widehat{BDO}=90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến) Suy ra $AB$ vuông góc với $OC$ và $OD$ Suy ra $AB$ vuông góc với $CD$ Mà $CD$ là đường kính của đường tròn tâm O Suy ra $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$