Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn;
b) Gọi I, K lần lượt là hai điểm trên BH và CH sao cho HE = HI, HF = HK. Chứng minh rằng bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi M là trung điểm của AH. Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm M thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K.

Question

Accepted Answer

a,Gọi M là trung điểm cạnh BC
Xét tam giác vuông BFC ta có:
$\displaystyle FP=\frac{BC}{2} \ $(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1)
Xét tam giác vuông BEC ta có:
$\displaystyle EP=\frac{BC}{2}$ ( tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: FP=EP=BP=CP (=$\displaystyle \frac{BC}{2}$)
Suy ra 4 điểm E,F,B,C nằm trên đường tròn tâm PP
b, Xét tam giác ABC có: H là trực tâm (do BE cắt CF tại H)
Nên AH là đường cao
Mà tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường phân giác
Xét tam giác vuông AFH và tam giác vuông AEH có:
AH chung
$\displaystyle \widehat{A_{1}} =\widehat{A_{2}}$ (AH là phân giác góc A)
Suy ra: tam giác AFH= tam giác AEH (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra EH=FH
Mà HI=EH
HK=FH
Suy ra HI=HE=HF=HK
Vậy 4 điểm E,F,I,K thuộc đường tròn tâm H
c, Để M thuộc đường tròn đi qua 4 điểm E,F,I, K thì HM=HE (1)
Mà xét tam giác vuông EAH có M là trung điểm cạnh huyền AH
Suy ra EM=$\displaystyle \frac{1}{2} \ AH=HM\ ( 2)$
Từ (1) và (2) suy ra HE=$\displaystyle \frac{1}{2} \ AH$
Tam giác EAH có :
HE=$\displaystyle \frac{1}{2} AH$
Suy ra $\displaystyle \widehat{EAH} =30^{0}$
Suy ra $\displaystyle \widehat{BAC} =2.\widehat{EAH} =60^{0}$
Vậy tam giác ABC đều.

Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn; b) Gọi I, K lần lượt là hai điểm trên BH và CH sao cho HE = HI, HF = HK....