Giúp mình gải đề

Câu I Điều kiện xác định: $$ và $$. 1) Rút gọn biểu thức $$: Ta có: $$ Chúng ta sẽ xét từng phần của biểu thức $$: Phần 1: $$ Chúng ta nhận thấy rằng: $$ Do đó: $$ Phần 2: $$ Vậy: $$ Rút gọn: $$ $$ 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$: $$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $$, chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ Do đó: $$ Giá trị nhỏ nhất của $$ là 10, đạt được khi $$, tức là $$ hay $$. Đáp số: $$ khi $$. Câu II Câu 1: Để đường thẳng $$ cắt parabol $$ tại hai điểm phân biệt, ta cần tìm giá trị của tham số $$ sao cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm: $$ $$ Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần: $$ $$ $$ Giả sử hai nghiệm của phương trình là $$ và $$. Ta có: $$ $$ Theo đề bài, ta có: $$ Thay $$ vào phương trình trên: $$ Ta thấy rằng: $$ $$ Do đó: $$ $$ $$ $$ $$ Từ đây, ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy giá trị của tham số $$ là: $$ Câu 2: Giải hệ phương trình: $$ Xét phương trình đầu tiên: $$ Đặt $$, ta có: $$ $$ Xét phương trình thứ hai: $$ $$ $$ Ta thử nghiệm các giá trị đơn giản: - Nếu $$, ta có: $$ $$ Điều này không thể xảy ra vì căn bậc hai của số âm không tồn tại trong tập số thực. - Nếu $$, ta có: $$ $$ $$ $$ Thử nghiệm $$: $$ Điều này đúng. Thử nghiệm $$ vào phương trình thứ hai: $$ $$ $$ Điều này không đúng. Vậy hệ phương trình không có nghiệm trong tập số thực. Đáp số: 1) $$ 2) Hệ phương trình không có nghiệm trong tập số thực. Câu III 1) Ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vì $$ nên $$. Do đó, $$. Ta có các trường hợp sau: - Nếu $$, ta có $$. Điều này không thể xảy ra vì $$. - Nếu $$, ta có $$. Điều này không thể xảy ra vì $$. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm nguyên $$. 2) Số quả bóng màu đỏ là: $$ (quả) Số quả bóng màu xanh là: $$ (quả) Số quả bóng có màu khác màu đỏ và màu xanh là: $$ (quả) Đáp số: 13 quả bóng có màu khác màu đỏ và màu xanh. Câu IV Để tính $$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm A có tọa độ (0, 0) - Điểm B có tọa độ (9, 0) - Điểm C có tọa độ (9, 6) - Điểm D có tọa độ (0, 6) 2. Tìm tọa độ của điểm K (trung điểm của AD): - Điểm K có tọa độ $$ 3. Tìm tọa độ của điểm H (trên cạnh AB, cách A 2 cm): - Điểm H có tọa độ (2, 0) 4. Tính khoảng cách giữa các điểm: - Khoảng cách HK: $$ - Khoảng cách CK: $$ - Khoảng cách HC: $$ 5. Áp dụng công thức cosin trong tam giác HCK: $$ Thay các giá trị đã tính vào: $$ $$ 6. Kết luận: $$ Đáp số: $$. Câu V Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Chứng minh bốn điểm I, H, P, K cùng thuộc một đường tròn và HK vuông góc với OI Chứng minh bốn điểm I, H, P, K cùng thuộc một đường tròn: - Xét tam giác IPH và IPK, ta thấy rằng cả hai đều có góc vuông tại H và K lần lượt. - Vì vậy, tứ giác IHPK nội tiếp đường tròn (vì tổng các góc đối bằng 180°). Chứng minh HK vuông góc với OI: - Ta xét tam giác IPH và IPK, do cả hai đều có góc vuông tại H và K nên HK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác IHPK. - Do đó, HK vuông góc với đường kính OI của đường tròn (O; R). Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IHK Diện tích tam giác IHK: - Diện tích tam giác IHK được tính bằng công thức $$. - Để diện tích lớn nhất, ta cần tối đa hóa tích $$. Xác định vị trí của P để diện tích lớn nhất: - Khi P chuyển động trên cung nhỏ AB, ta cần tìm vị trí của P sao cho $$ lớn nhất. - Ta nhận thấy rằng khi P ở vị trí chính giữa cung AB (tức là P nằm trên đường thẳng nối O và I), thì $$ và $$ sẽ lớn nhất. Kết luận: - Khi P nằm chính giữa cung AB, diện tích tam giác IHK sẽ lớn nhất. - Diện tích lớn nhất của tam giác IHK là $$. Đáp số: Diện tích lớn nhất của tam giác IHK là $$. Câu VI Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Trước tiên, ta viết lại biểu thức $$ dưới dạng tổng của ba phân thức: $$ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho mỗi phân thức: $$ Tương tự cho các phân thức còn lại: $$ $$ Bây giờ, ta cần chứng minh rằng: $$ Ta sẽ chứng minh từng phân thức riêng lẻ: $$ Do đó: $$ Tương tự cho các phân thức còn lại: $$ $$ Cộng các bất đẳng thức này lại: $$ Do đó: $$ Đẳng thức xảy ra khi $$. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ là 1, đạt được khi $$.