Giúp mình gải đề

Câu I Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). 1) Rút gọn biểu thức \( M \): Ta có: \[ M = \left( \frac{1}{x-4} + \frac{3\sqrt{x} + 10}{x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8} \right) \left( \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} - 2 \right) \] Chúng ta sẽ xét từng phần của biểu thức \( M \): Phần 1: \[ \frac{1}{x-4} + \frac{3\sqrt{x} + 10}{x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8 = (\sqrt{x} - 2)(x - 4) \] Do đó: \[ \frac{3\sqrt{x} + 10}{x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8} = \frac{3\sqrt{x} + 10}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \] Phần 2: \[ \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} - 2 = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4 - 8\sqrt{x}}{4\sqrt{x}} = \frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{4\sqrt{x}} \] Vậy: \[ M = \left( \frac{1}{x-4} + \frac{3\sqrt{x} + 10}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \right) \cdot \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{4\sqrt{x}} \] Rút gọn: \[ M = \left( \frac{\sqrt{x} - 2 + 3\sqrt{x} + 10}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \right) \cdot \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{4\sqrt{x}} = \left( \frac{4\sqrt{x} + 8}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \right) \cdot \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{4\sqrt{x}} \] \[ M = \left( \frac{4(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \right) \cdot \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{4\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}{(x - 4)\sqrt{x}} = \frac{x - 4}{(x - 4)\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( N \): \[ N = M \cdot (9x - 2\sqrt{x} + 4) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (9x - 2\sqrt{x} + 4) = \frac{9x - 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = 9\sqrt{x} - 2 + \frac{4}{\sqrt{x}} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( N \), chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ 9\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{9\sqrt{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}} = 2\sqrt{36} = 12 \] Do đó: \[ N = 9\sqrt{x} - 2 + \frac{4}{\sqrt{x}} \geq 12 - 2 = 10 \] Giá trị nhỏ nhất của \( N \) là 10, đạt được khi \( 9\sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{x}} \), tức là \( 9x = 4 \) hay \( x = \frac{4}{9} \). Đáp số: \( N_{min} = 10 \) khi \( x = \frac{4}{9} \). Câu II Câu 1: Để đường thẳng $(d):~y=x+m$ cắt parabol $(P):~y=2x^2$ tại hai điểm phân biệt, ta cần tìm giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm: \[ x + m = 2x^2 \] \[ 2x^2 - x - m = 0 \] Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) > 0 \] \[ 1 + 8m > 0 \] \[ m > -\frac{1}{8} \] Giả sử hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$. Ta có: \[ x_1 + x_2 = \frac{1}{2} \] \[ x_1 x_2 = -\frac{m}{2} \] Theo đề bài, ta có: \[ (2x_1^2 - x_2 - m)^2 + (2x_2^2 - x_1 - m)^2 = 4 \] Thay $y = 2x^2$ vào phương trình trên: \[ (2x_1^2 - x_2 - m)^2 + (2x_2^2 - x_1 - m)^2 = 4 \] Ta thấy rằng: \[ 2x_1^2 = x_1 + m \] \[ 2x_2^2 = x_2 + m \] Do đó: \[ (x_1 + m - x_2 - m)^2 + (x_2 + m - x_1 - m)^2 = 4 \] \[ (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_1)^2 = 4 \] \[ 2(x_1 - x_2)^2 = 4 \] \[ (x_1 - x_2)^2 = 2 \] \[ |x_1 - x_2| = \sqrt{2} \] Từ đây, ta có: \[ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 \] \[ 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \left(-\frac{m}{2}\right) \] \[ 2 = \frac{1}{4} + 2m \] \[ 2m = 2 - \frac{1}{4} \] \[ 2m = \frac{7}{4} \] \[ m = \frac{7}{8} \] Vậy giá trị của tham số $m$ là: \[ m = \frac{7}{8} \] Câu 2: Giải hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} x^3 + x^2 - xy^2 = 2\sqrt{(x - y^2)^3} \\ 56x^2 + 20(x^2 - y^2) = \sqrt[3]{4x(8x + 1)} - 2 \end{array}\right. \] Xét phương trình đầu tiên: \[ x^3 + x^2 - xy^2 = 2\sqrt{(x - y^2)^3} \] Đặt $t = x - y^2$, ta có: \[ x^3 + x^2 - xy^2 = 2\sqrt{t^3} \] \[ x^3 + x^2 - xy^2 = 2t^{3/2} \] Xét phương trình thứ hai: \[ 56x^2 + 20(x^2 - y^2) = \sqrt[3]{4x(8x + 1)} - 2 \] \[ 56x^2 + 20x^2 - 20y^2 = \sqrt[3]{4x(8x + 1)} - 2 \] \[ 76x^2 - 20y^2 = \sqrt[3]{4x(8x + 1)} - 2 \] Ta thử nghiệm các giá trị đơn giản: - Nếu $x = 0$, ta có: \[ 0 + 0 - 0 = 2\sqrt{(0 - y^2)^3} \] \[ 0 = 2\sqrt{-y^6} \] Điều này không thể xảy ra vì căn bậc hai của số âm không tồn tại trong tập số thực. - Nếu $y = 0$, ta có: \[ x^3 + x^2 = 2\sqrt{x^3} \] \[ x^3 + x^2 = 2x^{3/2} \] \[ x^2(x + 1) = 2x^{3/2} \] \[ x^{3/2}(x^{1/2} + x^{-1/2}) = 2 \] Thử nghiệm $x = 1$: \[ 1 + 1 = 2 \] Điều này đúng. Thử nghiệm $x = 1$ vào phương trình thứ hai: \[ 56(1) + 20(1) = \sqrt[3]{4(1)(8(1) + 1)} - 2 \] \[ 56 + 20 = \sqrt[3]{4 \cdot 9} - 2 \] \[ 76 = \sqrt[3]{36} - 2 \] Điều này không đúng. Vậy hệ phương trình không có nghiệm trong tập số thực. Đáp số: 1) $m = \frac{7}{8}$ 2) Hệ phương trình không có nghiệm trong tập số thực. Câu III 1) Ta có: $(x^2+3)y^2-(x-2y)(x+2y+1)=25x+2y+169$ $\Leftrightarrow (x^2+3)y^2-x(x+2y+1)+2y(x+2y+1)=25x+2y+169$ $\Leftrightarrow (x^2+3)y^2-x^2-2xy-x+2xy+4y^2+2y=25x+2y+169$ $\Leftrightarrow (x^2+3)y^2-x^2+4y^2=25x+169$ $\Leftrightarrow (x^2+3)y^2+4y^2-x^2-25x-169=0$ $\Leftrightarrow (x^2+3+4)y^2-(x+13)(x+13)=0$ $\Leftrightarrow (x^2+7)y^2-(x+13)^2=0$ $\Leftrightarrow (x^2+7)y^2=(x+13)^2$ $\Leftrightarrow \frac{(x^2+7)y^2}{(x+13)^2}=1$ $\Leftrightarrow \frac{x^2+7}{(x+13)^2}=\frac{1}{y^2}$ Vì $x^2+7>0$ nên $(x+13)^2>0$. Do đó, $y^2>0$. Ta có các trường hợp sau: - Nếu $y=1$, ta có $\frac{x^2+7}{(x+13)^2}=1$. Điều này không thể xảy ra vì $x^2+7< (x+13)^2$. - Nếu $y=-1$, ta có $\frac{x^2+7}{(x+13)^2}=1$. Điều này không thể xảy ra vì $x^2+7< (x+13)^2$. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm nguyên $(x;y)$. 2) Số quả bóng màu đỏ là: $40 \times \frac{3}{10} = 12$ (quả) Số quả bóng màu xanh là: $40 \times \frac{3}{8} = 15$ (quả) Số quả bóng có màu khác màu đỏ và màu xanh là: $40 - 12 - 15 = 13$ (quả) Đáp số: 13 quả bóng có màu khác màu đỏ và màu xanh. Câu IV Để tính $\cos\widehat{HCK}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm A có tọa độ (0, 0) - Điểm B có tọa độ (9, 0) - Điểm C có tọa độ (9, 6) - Điểm D có tọa độ (0, 6) 2. Tìm tọa độ của điểm K (trung điểm của AD): - Điểm K có tọa độ $\left(0, \frac{6}{2}\right) = (0, 3)$ 3. Tìm tọa độ của điểm H (trên cạnh AB, cách A 2 cm): - Điểm H có tọa độ (2, 0) 4. Tính khoảng cách giữa các điểm: - Khoảng cách HK: \[ HK = \sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] - Khoảng cách CK: \[ CK = \sqrt{(9-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \] - Khoảng cách HC: \[ HC = \sqrt{(9-2)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \] 5. Áp dụng công thức cosin trong tam giác HCK: \[ \cos\widehat{HCK} = \frac{HK^2 + CK^2 - HC^2}{2 \cdot HK \cdot CK} \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \cos\widehat{HCK} = \frac{(\sqrt{13})^2 + (3\sqrt{10})^2 - (\sqrt{85})^2}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3\sqrt{10}} \] \[ \cos\widehat{HCK} = \frac{13 + 90 - 85}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3\sqrt{10}} = \frac{18}{6\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}} \] 6. Kết luận: \[ \cos\widehat{HCK} = \frac{3}{\sqrt{130}} \] Đáp số: $\cos\widehat{HCK} = \frac{3}{\sqrt{130}}$. Câu V Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Chứng minh bốn điểm I, H, P, K cùng thuộc một đường tròn và HK vuông góc với OI Chứng minh bốn điểm I, H, P, K cùng thuộc một đường tròn: - Xét tam giác IPH và IPK, ta thấy rằng cả hai đều có góc vuông tại H và K lần lượt. - Vì vậy, tứ giác IHPK nội tiếp đường tròn (vì tổng các góc đối bằng 180°). Chứng minh HK vuông góc với OI: - Ta xét tam giác IPH và IPK, do cả hai đều có góc vuông tại H và K nên HK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác IHPK. - Do đó, HK vuông góc với đường kính OI của đường tròn (O; R). Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IHK Diện tích tam giác IHK: - Diện tích tam giác IHK được tính bằng công thức $\frac{1}{2} \times IH \times IK$. - Để diện tích lớn nhất, ta cần tối đa hóa tích $IH \times IK$. Xác định vị trí của P để diện tích lớn nhất: - Khi P chuyển động trên cung nhỏ AB, ta cần tìm vị trí của P sao cho $IH \times IK$ lớn nhất. - Ta nhận thấy rằng khi P ở vị trí chính giữa cung AB (tức là P nằm trên đường thẳng nối O và I), thì $IH$ và $IK$ sẽ lớn nhất. Kết luận: - Khi P nằm chính giữa cung AB, diện tích tam giác IHK sẽ lớn nhất. - Diện tích lớn nhất của tam giác IHK là $\frac{1}{2} \times R \times R = \frac{R^2}{2}$. Đáp số: Diện tích lớn nhất của tam giác IHK là $\frac{R^2}{2}$. Câu VI Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Trước tiên, ta viết lại biểu thức $P$ dưới dạng tổng của ba phân thức: \[ P = \frac{\sqrt{2x^2 + 2xy + y^2}}{x + 2y} + \frac{\sqrt{2y^2 + 2yz + z^2}}{y + 2z} + \frac{\sqrt{2z^2 + 2zx + x^2}}{z + 2x}. \] Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho mỗi phân thức: \[ \left( \frac{\sqrt{2x^2 + 2xy + y^2}}{x + 2y} \right)^2 \leq \left( \frac{2x^2 + 2xy + y^2}{(x + 2y)^2} \right). \] Tương tự cho các phân thức còn lại: \[ \left( \frac{\sqrt{2y^2 + 2yz + z^2}}{y + 2z} \right)^2 \leq \left( \frac{2y^2 + 2yz + z^2}{(y + 2z)^2} \right), \] \[ \left( \frac{\sqrt{2z^2 + 2zx + x^2}}{z + 2x} \right)^2 \leq \left( \frac{2z^2 + 2zx + x^2}{(z + 2x)^2} \right). \] Bây giờ, ta cần chứng minh rằng: \[ \frac{2x^2 + 2xy + y^2}{(x + 2y)^2} + \frac{2y^2 + 2yz + z^2}{(y + 2z)^2} + \frac{2z^2 + 2zx + x^2}{(z + 2x)^2} \geq 1. \] Ta sẽ chứng minh từng phân thức riêng lẻ: \[ \frac{2x^2 + 2xy + y^2}{(x + 2y)^2} = \frac{x^2 + xy + y^2 + x^2 + xy}{(x + 2y)^2} = \frac{(x + y)^2 + x(x + y)}{(x + 2y)^2}. \] Do đó: \[ \frac{(x + y)^2 + x(x + y)}{(x + 2y)^2} \geq \frac{(x + y)^2}{(x + 2y)^2}. \] Tương tự cho các phân thức còn lại: \[ \frac{2y^2 + 2yz + z^2}{(y + 2z)^2} \geq \frac{(y + z)^2}{(y + 2z)^2}, \] \[ \frac{2z^2 + 2zx + x^2}{(z + 2x)^2} \geq \frac{(z + x)^2}{(z + 2x)^2}. \] Cộng các bất đẳng thức này lại: \[ \frac{(x + y)^2}{(x + 2y)^2} + \frac{(y + z)^2}{(y + 2z)^2} + \frac{(z + x)^2}{(z + 2x)^2} \geq 1. \] Do đó: \[ P \geq 1. \] Đẳng thức xảy ra khi \( x = y = z \). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là 1, đạt được khi \( x = y = z \).