Giúp mình với!

Câu 1. Căn bậc hai số học của số a không âm là số b sao cho b^2 = a và b ≥ 0. Bước 1: Xác định điều kiện của a - Số a phải là số không âm, nghĩa là a ≥ 0. Bước 2: Định nghĩa căn bậc hai số học - Căn bậc hai số học của số a không âm là số b sao cho b^2 = a và b ≥ 0. Bước 3: Kết luận - Vậy căn bậc hai số học của số a không âm là số b sao cho b^2 = a và b ≥ 0. Đáp số: Căn bậc hai số học của số a không âm là số b sao cho b^2 = a và b ≥ 0. Câu 2. Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O'), ta cần so sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn (O và O') với tổng và hiệu bán kính của chúng. - Bán kính của đường tròn (O) là 4 cm. - Bán kính của đường tròn (O') là 3 cm. - Khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là OO' = 5 cm. Tổng của hai bán kính là: \[ 4 + 3 = 7 \text{ cm} \] Hiệu của hai bán kính là: \[ 4 - 3 = 1 \text{ cm} \] Bây giờ, ta so sánh khoảng cách OO' với tổng và hiệu của hai bán kính: - OO' = 5 cm - Tổng của hai bán kính là 7 cm - Hiệu của hai bán kính là 1 cm Ta thấy rằng: \[ 1 < 5 < 7 \] Do đó, khoảng cách giữa tâm hai đường tròn nằm giữa hiệu và tổng của hai bán kính. Điều này cho thấy hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Vậy vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O') là: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Câu 3. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng nếu hai bạn học sinh cùng quét chung một lớp học trong 10 phút thì xong, tức là trong 1 phút, cả hai bạn sẽ quét được $\frac{1}{10}$ lớp học. Tiếp theo, nếu bạn thứ nhất quét trong 6 phút và bạn thứ hai quét trong 3 phút thì cả hai bạn chỉ quét được $\frac{2}{5}$ lớp học. Điều này có nghĩa là trong 1 phút, bạn thứ nhất quét được $\frac{1}{x}$ lớp học và bạn thứ hai quét được $\frac{1}{y}$ lớp học. Bây giờ, chúng ta sẽ lập phương trình dựa trên thông tin đã cho: 1. Trong 1 phút, cả hai bạn quét được $\frac{1}{10}$ lớp học: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \] 2. Trong 6 phút, bạn thứ nhất quét được $\frac{6}{x}$ lớp học và trong 3 phút, bạn thứ hai quét được $\frac{3}{y}$ lớp học. Tổng cộng, cả hai bạn quét được $\frac{2}{5}$ lớp học: \[ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5} \] Vậy hệ phương trình là: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5} \end{cases} \] Đáp số: Hệ phương trình là: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5} \end{cases} \] Câu 4. Để tìm góc \(a\) giữa cạnh mái lều và mặt đất, ta cần sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Chiều cao của lều (cạnh đối với góc \(a\)) là 2,4 m. - Chiều rộng của lều (cạnh kề với góc \(a\)) là 3 m. Bước 2: Áp dụng công thức tỉ số lượng giác để tìm góc \(a\): \[ \tan(a) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{2,4}{3} = 0,8 \] Bước 3: Tìm góc \(a\) từ giá trị của \(\tan(a)\): \[ a = \arctan(0,8) \] Bước 4: Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(a\): \[ a \approx 38,66^\circ \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến phút: \[ a \approx 38^\circ 39' \] Vậy góc \(a\) giữa cạnh mái lều và mặt đất là \(38^\circ 39'\). Câu 5: Để biểu thức $\sqrt{\frac{1}{-2x+5}}$ có nghĩa, ta cần đảm bảo rằng phân số $\frac{1}{-2x+5}$ nằm trong miền xác định của căn bậc hai, tức là nó phải lớn hơn 0. Bước 1: Xác định điều kiện của mẫu số: \[ -2x + 5 > 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ -2x + 5 > 0 \\ -2x > -5 \\ x < \frac{5}{2} \] Vậy điều kiện để biểu thức $\sqrt{\frac{1}{-2x+5}}$ có nghĩa là: \[ x < \frac{5}{2} \] Câu 6: Để tìm giá trị của biểu thức $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng biểu thức $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ có dạng $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$. Chúng ta sẽ cố gắng biến đổi nó thành dạng $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$ để dễ dàng hơn trong việc tính toán. Bước 2: Ta cần tìm hai số $x$ và $y$ sao cho: \[ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy} \] So sánh với biểu thức ban đầu: \[ 4 - 2\sqrt{3} = x + y - 2\sqrt{xy} \] Ta thấy rằng: \[ x + y = 4 \] \[ xy = 3 \] Bước 3: Giải hệ phương trình: \[ x + y = 4 \] \[ xy = 3 \] Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng trừ. Ta thử phương pháp thế: \[ y = 4 - x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ x(4 - x) = 3 \] \[ 4x - x^2 = 3 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy: \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Nếu $x = 1$, thì $y = 3$. Nếu $x = 3$, thì $y = 1$. Bước 5: Ta chọn cặp giá trị $(x, y)$ là $(3, 1)$ hoặc $(1, 3)$. Ta sẽ chọn $(3, 1)$ để đơn giản hóa: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(3 + 1) - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{1})^2} = |\sqrt{3} - 1| \] Vì $\sqrt{3} > 1$, nên: \[ |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1 \] Vậy giá trị của biểu thức $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ là: \[ \sqrt{3} - 1 \] Đáp số: $\sqrt{3} - 1$ Câu 7: Để tìm giá trị của sin C trong tam giác ABC vuông tại B, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài cạnh AC: - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC vuông tại B: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] Do đó: \[ AC = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \] 2. Tìm giá trị của sin C: - Trong tam giác vuông, sin của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh huyền. - Ở đây, góc C đối diện với cạnh AB và cạnh huyền là AC. - Vậy: \[ \sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13} \] Vậy giá trị của sin C là $\frac{5}{13}$. Câu 8: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác vuông ABC với góc A = 90°, ta có: \[ tgB = \frac{AC}{AB} \] Biết rằng \( AB = 6 \) và \( tgB = \frac{4}{3} \), ta có thể viết: \[ \frac{AC}{6} = \frac{4}{3} \] Từ đây, ta giải ra AC: \[ AC = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \] Bây giờ, ta sử dụng định lý Pythagoras để tìm cạnh BC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ BC^2 = 36 + 64 \] \[ BC^2 = 100 \] \[ BC = \sqrt{100} \] \[ BC = 10 \] Vậy cạnh BC là 10. Đáp số: 10 Câu 9: Để tìm khoảng cách từ tâm đến dây cung, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tam giác đều: Vì độ dài dây cung bằng bán kính, nên tam giác được tạo thành bởi hai bán kính và dây cung là tam giác đều. 2. Tính chiều cao của tam giác đều: Chiều cao của tam giác đều cũng là khoảng cách từ tâm đến dây cung. Chiều cao của tam giác đều có công thức là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] Trong đó, \( a \) là độ dài cạnh của tam giác đều. 3. Áp dụng vào bài toán: Ở đây, độ dài cạnh \( a \) là 12 cm (bán kính của đường tròn). \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3} \text{ cm} \] Vậy khoảng cách từ tâm đến dây cung là \( 6\sqrt{3} \text{ cm} \). Đáp số: \( 6\sqrt{3} \text{ cm} \) Câu 10: Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O'; R'), ta cần so sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn (d) với tổng và hiệu bán kính của chúng. - Tổng bán kính của hai đường tròn là: \[ R + R' = 12 + 7 = 19 \text{ cm} \] - Hiệu bán kính của hai đường tròn là: \[ |R - R'| = |12 - 7| = 5 \text{ cm} \] Khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là: \[ d = 4 \text{ cm} \] So sánh các giá trị này: - \( d < |R - R'| \) Khi khoảng cách giữa tâm hai đường tròn nhỏ hơn hiệu của hai bán kính, hai đường tròn nằm trong nhau và không cắt nhau. Vậy vị trí tương đối của hai đường tròn là: Hai đường tròn nằm trong nhau. Câu 11 Để giải quyết giá trị biểu thức $\frac{1-x}{\sqrt{x^2-2x+1}}$ khi $x > 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\sqrt{x^2 - 2x + 1}$ phải có nghĩa, tức là $x^2 - 2x + 1 \geq 0$. - Ta nhận thấy rằng $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, do đó $(x - 1)^2 \geq 0$ luôn đúng với mọi giá trị của $x$. 2. Rút gọn biểu thức: - Biểu thức $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$. - Khi $x > 1$, ta có $|x - 1| = x - 1$. 3. Thay vào biểu thức ban đầu: - Biểu thức $\frac{1 - x}{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}$ trở thành $\frac{1 - x}{x - 1}$. - Ta nhận thấy rằng $\frac{1 - x}{x - 1} = \frac{-(x - 1)}{x - 1} = -1$. Vậy giá trị của biểu thức $\frac{1 - x}{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}$ khi $x > 1$ là $-1$. Đáp số: $-1$. Câu 12: Hai đường tròn có điểm chung thì có thể là hai đường tròn cắt nhau hoặc hai đường tròn tiếp xúc ngoài. - Nếu hai đường tròn cắt nhau, chúng sẽ có 2 tiếp tuyến chung. - Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài, chúng sẽ có 3 tiếp tuyến chung. Vậy số tiếp tuyến chung nhiều nhất có thể là 3. Đáp số: 3 tiếp tuyến chung.